Задача теплопроводности. Распространение тепла в шаре

Вывод уравнения теплопроводности

Приведем вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае. Рассмотрим неравномерно нагретое тело. Пусть температура в каждой точке (х, у, z) тела в момент времени t определяется функцией и (х, у, z, t). Физические предпосылки были подробно рассмотрены на примере вывода уравнения линейной теплопроводности. Поэтому ограничимся краткими

замечаниями, обратив основное внимание на те усложнения математической стороны дела, которые возникают в пространственном случае.
В любой момент времени t функция и определяет скалярное поле – поле температуры. В общем курсе анализа обычно ограничиваются изучением стационарных полей, когда температура и не зависит от времени. Нам же сейчас придется рассматривать нестационарное поле, поскольку мы предполагаем, что температура точек тела изменяется со временем. Если зафиксировать момент времени t, то совокупность точек, в которых температура u (х, у, z, t) принимает одно и то же значение, образует изотермическую поверхность (поверхность уровня). В отличие oт стационарного случая, форма и расположение изотермических поверхностей с течением времени будут изменяться.
Как известно, направление наибольшей скорости изменения температуры и совпадает с направлением градиента функции и (х, у, z, t) при заданном значении t. При этом

В точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону увеличения значений и и модуль градиента равен производной по этому направлению:

Обобщая формулу (1), считают, что величина теплового потока через малый участок Δσ изотермической поверхности за время ∆t равна

(1)
где k – коэффициент теплопроводности, который мы считаем постоянным.
Обратим особое внимание. на роль знака «минус» в формуле (1.2.1). Условимся считать величину теплового потока положительной, если направление потока тепла совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицательной, если оно ему противоположно. Для нормали, совпадающей с направлением градиента, тепло же переходит от более нагретых участков к менее нагретым, т.е. как раз в противоположную сторону, и, следовательно. по определению, ∆Q < 0, что и объясняет знак «минус» в
формуле (1.2.1). Изменив направление нормали на противоположное, мы ^{получили бы, что но тогда ∆Q > 0 и опять-таки знак «минус»} сохраняется.
В линейном случае изотермическими поверхностями являются сечения стержня, перпендикулярные оси Ох; нормаль к ним совпадает с осью Ох, и (если направление нормали совпадает с положительным направлением оси Ох).
В теории теплопроводности доказывается, что формула (1.2.1) для величины теплового потока справедлива для любых поверхностей (не только ^{для изотермических). Производная по направлению нормали к выбранной} поверхности равна проекции градиента на эту нормаль, т.е. скалярному произведению grad u на единичный вектор нормали n:

Поэтому поток тепла через участок Δσ любой поверхности за время Δt будет равен

Для краткости назовем вектор – k grad u вектором теплового потока и обозначим через А:

Тогда ∆Q есть поток вектора А через элементарную площадку Δσ за время Δt:

Если теперь выделить в теле некоторую часть, ограниченную замкнутой поверхностью – S, то поток тепла изнутри через эту замкнутую поверхность за время Δt будет равен произведению потока вектора A на ∆t:

⁽²⁾

Рис. 1

где А_п – проекция А на внешнюю нормаль (рис. 1.2.1).

Поток Q будет положительным, если выбранная часть тела теряет тепло, и отрицательным, если приобретает.
Применяя к интегралу в формуле (1.2.2) теорему Гаусса–
Остроградского, запишем, что




где V – часть тела, ограниченная поверхностью S, и

где – оператор Лапласа.

Таким образом, количество тепла Q, приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового потока, будет равно (оно противоположно по знаку величине Q)

Предположим, далее, что в теле имеются тепловые источники, плотность которых характеризуется функцией F (x, у, z, t). Тогда за промежуток времени (t, t +∆ t) в выбранной части тела выделится тепло Q₂, равное (с точностью до бесконечно малых высшего порядка)

Общее количество тепла, сообщенного выделенному объему V, будет равно сумме Q_l+-Q₂. Подсчитаем теперь это тепло иначе, учитывая изменение

температуры в точках тела, лежащих внутри поверхности S. В точке (х, у, z) за промежуток времени Δ t температура изменится на величину

Поэтому элементарному объему ∆v для такого изменения температуры

потребуется количество тепла, равное
с ^u t , где с – удельная
t

теплоемкость,  – плотность, а всему объему – количество

которое должно быть равно сумме Q_l+-Q₂. Следовательно,

Перенося все слагаемые в левую часть, приходим к равенству


^(1.2.3)
Равенство (1.2.3) должно соблюдаться для любой части тела V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела


(4)
Это заключение справедливо, когда все слагаемые в левой части равенства (1.2.4) – непрерывные функции. Действительно, если предположить, что в точке М (х, у, r) равенство (1.2.4) нарушается, т.е., например, , то в силу непрерывности это же неравенство будет соблюдаться и в некоторой области Ω, окружающей точку М. Но тогда интеграл по этой области, вопреки условию (1.2.3), был бы величиной положительной.
Переписав равенство (4) в виде


(5)

получим основное уравнение теплопроводности (а= –

коэффициент температуропроводности). Если тепловые источники внутри тела отсутствуют, то F= 0 и уравнение становится однородным:

(6)
Еще раз отметим, что уравнения (1.2.5) и (1.2.6) выведены в предположении, что все физические величины, характеризующие свойства тела (плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности), постоянны.
Ясно, что уравнение линейной теплопроводности является частным случаем уравнения (1.2.6).
Начальное и краевые условия. Перейдем теперь к начальному и краевым условиям. Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках тела в некоторый данный момент, от которого ведется отсчет времени. В этот начальный момент поэтому полагают t = 0, так что начальное условие принимает вид


(7)
где f (x, у, z) – данная функция, определенная и непрерывная во всех точках тела.
Краевое условие должно выполняться на поверхности Г, ограничивающей тело. Вдоль Г тело граничит с окружающей средой, имеющей в каждой точке ξ, η, ζ границы Г свою температуру ũ = ũ (ξ, η, ζ, t). Разность u (ξ, η, ζ, t) – ũ (ξ, η, ζ, t) между температурой тела в точке границы и температурой окружающей среды в этой точке называется перепадом температур в точке ξ, η, ζ границы. Существует физический закон, устанавливающий, что поток тепла изнутри тела через любую