Задача теплопроводности. Распространение тепла в шаре

Уравнение теплопроводности

1. 
   Физический смысл уравнения теплопроводности
   

Рассмотрим физические предпосылки вывода уравнения теплопроводности на примере линейного случая. В задаче линейной теплопроводности стержень предполагается настолько тонким, что в каждый момент времени температура всех точек данного поперечного сечения стержня будет одной и той же. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на следующих физических предпосылках:

1. 
   Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на Δu, равно:
   

cVu,
где V – объем тела, ρ – его плотность, с – удельная теплоемкость.

2. 
   Количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за момент времени Δt (тепловой поток), пропорционально площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, и промежутку времени Δt, т.е. равно
   

• 
  kS ^u t,
  

x

(1)

где S – площадь поперечного сечения, k – коэффициент теплопроводности.
Знак минус в формуле (1) объясняется тем, что величину потока мы будем считать положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания х. Будем считать коэффициент теплопроводности постоянным; это предположение оправдывается, если стержень однородный и температура меняется в небольших пределах. Заметим еще, что способы экспериментального определения коэффициентов теплопроводности различный материалов весьма сложны и во многом опираются на математическую теорию теплопроводности.