Задача теплопроводности. Распространение тепла в шаре

xdx  ¹ J ^2  ,

^ 0 k
0
₂ 0 k

найдем коэффициенты С_к:

^{Напомним еще, что .}
Вычисляя коэффициенты C_k no формулам (3.1.7) и подставляя в ряд (3.1.6), мы и завершим решение задачи¹.
Почти так же решается задача в случае теплоизоляции боковой поверхности цилиндра.
Краевое условие запишется теперь в виде






¹ Решение почти полностью повторяет решение задачи о колебании круглой мембраны.

(нормаль к боковой поверхности цилиндра направлена по радиусу).
Для определения собственных чисел взамен уравнения (3.1.5) мы ^{получим уравнение или}
Таким образом, собственными числами являются величимы где v_к – нули функции Бесселя первого порядка.
^{Собственные функции отличаются от} собственных функций предыдущей задачи (постоянство температуры на поверхности цилиндра) только тем, что в аргумент функции Бесселя входят множителями корни не самой функции J₀(x), a корни функции J_l(x). Ряд (3.1.5) запишется теперь в виде


^(3.1.7)
и, чтобы удовлетворялось начальное условие (3.1.2), должно соблюдаться равенство


^(3.1.8)
где
Оказывается, что функции J₀(v_к x) в интервале [0, 1] удовлетворяют такому же условию ортогональности, что и функции J₀(µ_k x). Напомним, что, для любых чисел р и q

Отсюда сразу следует, что при ρ= ν_к и q=v_п, где k ≠ п, правая часть обращается в нуль, так как j'₀ (ν_к) = J₁ (ν_к) = 0 и j'₀ (ν_n) = 0. Если же k = п, то, полагая p=v_k и, переходя по правилу Лопиталя к пределу при q_к, получим

Из уравнения Бесселя и условия следует, что Поэтому

Воспользовавшись этим соотношением, сразу получим, что коэффициенты С_к в формуле (3.1.8) равны

Подставляя найденные значения С_к в ряд, завершим решение задачи.

Общий случай краевых условий может
быть рассмотрен точно так же, однако уравнение для отыскания собственных чисел приобретает более сложный вид:


J₀^ R hJ₀R  0 .

Решение этого уравнения и доказательство ортогональности получающихся собственных функций требуют более детального знакомства с теорией 6 ессслевых функций.

Рассмотрим задачу об остывании бесконечно длинного цилиндра радиуса r₀, имеющего некоторую начальную температуру, если на его поверхности поддерживается температура, равная нулю. Предположим, что начальная температура не зависит от z (ось z направлена вдоль оси цилиндра). Toгдa, очевидно, и в дальнейшем температура не будет зависеть от z и меняется только в поперечном сечении S цилиндра. Выбирая в этом сечении полярную систему координат c полюсом, находящимся в центре круга S, мы приходим к задаче об определении функции u (r, φ, t), удовлетворяющей уравнению

начальному условию

и граничному условию

Как мы видели, решение задачи такого типа может быть представлено в

виде

гдe суммирование распространяется на все собственные функции задачи

Каждому собственному значению

соответствуют две собственные функции

квадраты нормы которых равны

где
(n)


m
– m-й корень уравнения

Пользуясь выражениями для ν и λ, получаем:

(3.1.9)
где коэффициенты определяются начальной функцией

Ecли начальная температура Ф зависит только от r, тo двойной ряд (3.1.9) заменяется однократным рядом

гдe

т
a  ^0 – m-й корень уравнения J₀ (μ) = 0.

Остановимся подробнее на задаче об остывании равномерно нагретого цилиндра при нулевой температуре на поверхности. если начальная температура


то
^{так как Таким образом мы получаем: (3.1.10)}
B таблицах цилиндрических функций даются численные значения как
для корней  ^0 , так и для J₁(  ^0 ).
т т
B частности,

Ряд (3.1.10) сходится быстро и при больших t можно ограничиться первым членом этого ряда. B частности, на оси цилиндра

2.