Закон Паскаля для гидростатики. Определение и формула гидростатического давления

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера.
(Леонардо Эйлер 1707-1783, академик Петербургской академии наук)
Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое относительно неинерциальной системы координат . Выделим в этой жидкости элементарный параллелепипед с ребрами , параллельными соответствующим осям координат. Объем параллелепипеда , масса .

Отбросим жидкость, окружающую параллелепипед, и заменим действие отброшенной жидкости силами. Это будут сжимающие поверхностные силы давления. Кроме них на жидкость действуют массовые силы, проекции плотности распределения которых на оси координат .

Массовая сила в направлении оси составит
Пусть давление в центре выделенного объема равно . Давление непрерывная функция координат, градиент давления в направлении оси составит (ограничимся первой производной). Тогда давление на левой грани , давление на правой грани . Составим уравнение равновесия жидкости, заключенной в параллелепипед (сумма сил равна 0). В проекции на ось получим

Раскроем скобки и разделим на массу . Тогда, с учетом проекций на другие оси, имеем:

(*) Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера.

Основное уравнение гидростатики
Умножим дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера на соответственно и сложим (по размерности имеем: – сила, действующая на единичную массу, – путь, результат умножения – работа)

Давление зависит от координат, т.е. .
Полный дифференциал давления (из математики): .
Имеем: – уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде.

Воспользуемся полученным уравнением для частного случая, когда из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести. На элементарную массу действует сила веса в направлении, противоположном оси . Потенциал массовых сил (отношение сил к массе) в проекциях на оси координат: , , .

Подставляем в объединенное уравнение Эйлера или
После интегрирования получаем основное уравнение гидростатики. Для всех точек покоящейся жидкости сумма геометрического и пьезометрического напоров есть величина постоянная – гидростатический напор.

Вычисление немного усложняется, когда надо узнать давление, производимое на не горизонтальную часть стенки сосуда вследствие тяжести налитой на него жидкости. Здесь причиной давления становится вес столбов жидкости, имеющих основанием каждую бесконечно малую частицу рассматриваемой поверхности, а высотой вертикальное расстояние от каждой такой частицы до свободной поверхности жидкости. Расстояния эти будут постоянны только для горизонтальных частей стенок и для бесконечно узких горизонтальных полосок, взятых на боковых стенках; к ним одним можно прилагать непосредственно формулу гидростатического давления. Для боковых же стенок надо суммировать, по правилам интегрального исчисления, давления на все горизонтальные элементы их поверхности; в результате получается общее правило: давление тяжелой жидкости на всякую плоскую стенку равняется весу столба этой жидкости, имеющему основанием площадь этой стенки, а высотой вертикальное расстояние её центра тяжести от свободной поверхности жидкости. Поэтому давление на дно сосуда будет зависеть только от величины поверхности этого дна, от высоты уровня жидкости в него налитой и от её плотности, от формы же сосуда оно зависеть не будет. Это положение известно под именем «гидростатического парадокса» и было разъяснено ещё Паскалем.

Действительно, оно кажется на первый взгляд неверным, потому что в сосудах с равными доньями, наполненными до равной высоты одной и той же жидкостью, вес её будет очень различный, если формы различны. Но вычисление и опыт (сделанный в первый раз Паскалем) показывают, что в сосуде, расширяющемся кверху, вес излишка жидкости поддерживается боковыми стенками и передается весам через их посредство, не действуя на дно, а в сосуде, суживающемся кверху, гидростатическое давление на боковые стенки действует снизу вверх и облегчает весы ровно на столько, сколько весило бы недостающее количество жидкости.
Использованные литературы и сайты:

Гидравлика, гидромашины и гидроприводы учебник для ВУЗов / Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б.

Гидравлика / Чугаев Р.Р.

Сайт Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki
https://www.nektonnasos.ru/article/gidravlika/gidrostaticheskoe-davlenie/
https://lanbook.com.discipline/gidravlika/