Zarralarning potensial to‘siqdan o‘tishi. Tunnel effekti

2

ï

d ^2

2

ï

III sohada :

^+^K1^

= 0;ï

dx

2

þ

Bu tenglamalarning yechimlari quyidagi funksiyalardir:
161

I sohada :	 = C1e^ik^1^x + C2e^^ik^1^x ;				ü
II sohada :	 = C3e^^k^2^x + C4e^k^2^x;				ï		(5.96)
					ý
III sohada :	 = C5e^1	+ C6e	1	;þ
	ik x		ik x ï

Bu yechimlarda C₁, C₂,C₃,C₄,C₅,C₆ lar har bir to‘lqinga tegishli bo‘lgan amplitudalardir. Ular quyidagicha aniqlanadi:

C₁– potensial to‘siqqa chapdan tushayotgan to‘lqin amplitudasi; C₂– I sohaga qaytgan to‘lqin amplitudasi;
C₃– II sohaga (potensial to‘siq ichiga) o‘tgan to‘lqinamplitudasi;
C₄– potensial to‘siqqa (b nuqtadan) qaytgan to‘lqin amplitudasi; C₅– potensial to‘siqdan III sohaga o‘tib, cheksizlikka ketgan
to‘lqin amplitudasi;

C₆– III sohaga qaytgan to‘lqin amplitudasi.

C₆– mavjud bo‘lmagan to‘lqin, chunki to‘lqin cheksizlikdanqaytmaydi, shuning uchun C₆=0.
(5.95) ifodadagi differensial tenglamalarning (5.96)da keltirilgan xususiy yechimlari I va II sohadagi de-Broyl yassi to‘lqinlarini ifodalaydi (mikrozarralar harakati de-Broyl yassi to‘lqini sifatida
namoyon bo‘ladi). Xususiy yechimlar e^ik1x va e^ik2x ko‘rinishga ega. Bunda e^ik1x yechim x o‘qi yo‘nalishida chapdan o‘ngga borayotgan to‘lqin, e^ik1x esa qaytayotgan to‘lqinga tegishli. Xuddi
shunday, e^ik2x yechim ham borayotgan va qaytayotgan to‘lqinlarga tegishli. Rasmda keltirilgan I, II, III sohalarda qarab chiqilgan _I, _II, _III – to‘lqin funksiyalari x o‘qining har bir nuqtasida uzluksiz va bir qiymatli holda aniqlanadi. Bu esa to‘lqin tenglamasini yechish orqali turli amplitudalarni zarralarning energiyasi, potensial to‘siq balandligi, uning kengligi orqali ifodalashga imkon beradi.
To‘lqin funksiyasi bilan bog‘liq bo‘lgan ehtimoliyat zichligi shu funksiyaning amplitudasi kvadratiga proporsional bo‘lgani uchun potensial to‘siqning shaffoflik koeffisiyentini quyidagicha aniqlash mumkin:

				C					2
D =			5							(5.97)
				C		2
				1
162

5.5-rasm

F kx
Xuddi shunday, to‘siqdan qaytgan va unga tushgan to‘lqinlar amplitudalarining modullari kvadratlarining nisbati aniqlanadi:

R =				C2					2	(5.98)
				C		2
				1

(5.97) va (5.98) formulalarda D – zarralarning II sohaga o‘tish yoki potensial to‘siqdan o‘tish ehtimoliyatidir; R – zarralarning sohalar chegarasida qaytish ehtimoliyatidir.

Yuqoridagi _I , _II, _III yechimlar va ularning hosilalarining x=a va x=b nuqtalarda teng bo‘lishi shartidan C₁,C₂,C₃,C₄,C₅ amplitudalar uchun tenglamalar tizimi kelib chiqadi. Bu tenglamalar yordamida C₅,C₁,C₂amplitudalar nisbatlarini aniqlash mumkin. Bunda shaffoflikkoeffisiyentining to‘siq parametri bilan bog‘lanishi hosil bo‘ladi. Bunday bog‘lanishni topishda matematik amallarni keltirmasdan fizikaviy mulohazalar yordamida shaffoflik koeffisiyenti D ning ifodasini yozish mumkin bo‘ladi.
Potensial to‘siqning x=a devoriga chapdan kelib tushgan C₁e^ik1x
to‘lqinning intensivligi to‘siq ichida e^k2x ko‘rinishidagi eksponensial qonun bo‘yicha kamayadi, to‘siqning x=b bo‘lgan ikkinchi devoriga bu to‘lqin intensivligi dastlabki qiymatiga nisbatan

C~e^^k2 ^(^b^^a^)

(5.99)

marta susayib yetib keladi. U vaqtda potensial to‘siq orqa tomonidagi (potensial to‘siqdan III sohaga o‘tgan) zarralarning  funksiyasi potensial to‘siqning oldi (I sohadagi) zarralarning  funksiyasidan
e^k2(ba)ko‘paytuvchi bilan farq qiladi. Zarraning topilishehtimoliyati to‘lqin funksiyasi kvadrati bilan aniqlanadi. Shuning uchun potensial to‘siq orqa tomonidagi zarralar zichligi to‘siq oldi tomonidagi zarralar zichligidan quyidagi ko‘paytuvchi bilan farq qiladi:

é				ù
		2m
D=e^^2^k2 ^(^b^^a^)=expê-2			(U - E)(b - a)ú		(5.100)
		2
ë		h	û