Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

7–§. Асимптотик формулалар
Юқоридаги 6–§ да келтирилган мисоллардан кўринадики, тажрибалар сони n етарлича катта бўлганда Р_п(к)= эҳтимолни ҳисоблаш катта қийинчиликларга олиб келади. Бундай ҳолларда ҳисоблашни осонлаштирувчи формулаларга, ҳатто улар изланаётган эҳтимолнинг тақрибий қийматини берса ҳам эҳтиёж туғилади. Бундай формулалар асимптотнк формулалар деб аталади. Ушбу параграфда шундай формулалар билан танишамиз.
1. Муавр–Лапласнинг локал теоремаси. Ҳар бирида ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли P(0<р<1) га тенг бўлган п та боғлиқсиз тажрибада ҳодисанинг к марта рўй бериш эҳтимоли (п етарлича катта бўлганда) тақрибан


(1)
га тенг. Бу ерда

функииянинг қийматлар жадвали 1–иловада келтирилган. (1) формула Муавр – Лапласнинг локал формуласидир.
2. Пуассон формуласи. Агар тажрибалар сони етарлича катта бўлиб, ҳар бир тажрибада ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли р жуда кичик бўлса, у ҳолда
(2)
бу ерда =пр. (2) – Пуассон формуласидир.
3. Муавр–Лапласнинг интеграл формуласи. Ҳар бирида ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли р(0<р<1) га тенг бўлган п та боғлиқсиз тажрибада ҳодисанинг камида к₁ марта ва кўпи билан к₂ марта рўй бериш эҳтимоли (п етарлича катта бўлганда) тақрибан
(3)
га тенг. Бу ерда

Лаплас функцияси бўлиб, бунда

х нинг (0х5) мусбат қийматлари учун Лаплас функциясининг қийматлари жадвали 2 – иловада келтирилган. х>5 қийматлар учун Ф(х)=0,5 деб олинади. (Ф(–х) =–Ф (х), яъни Ф(х) – тоқ функция.)
Қуйидаги масалаларнинг ечилиши билан танишайлик.
1–масала. Корхонада ишлаб чиқарилган деталнинг яроқсиз бўлиш эҳтимоли 0,005 га тенг. 10000 та деталдан иборат партиядаги яроқсиз деталлар сонининг 40 та бўлиш эҳтимолини топинг.
Масаланинг шартига кўра n=10000; к=40; р=0,005; q=0,995.
п=10000 етарлича катта сон бўлгани учун Муавр–Лапласнинг локал формуласидан фойдаланамиз:

бу ерда

х нинг қийматини топамиз:

Жадвалдан  (–1,42)=(1,42)=0,1456 ии топамиз. Демак, изланаётган эҳтимол:

2–масала. Дарслик 200000 нусхада босиб чиқарилган. Дарсликнинг брак бўлиш эҳтимоли 0,00005 га тенг. Бутун тиражда роса бешта брак китоб бўлиш эҳтимолини топинг.
Шартга кўра n=200000, р=0,00005, q=5. п сон катта ва р эҳтимол кичик, шу сабабли Пуассон формуласидан фойдаланамиз:

бу ерда =пр  нинг қийматини топамиз: =200000–0,00005=10.

Демак, изланаётган эҳтимол:

3–масала. Таваккалига олинган пилланинг яроқсиз чиқиш эҳтимоли 0,2 га тенг. Тасодифан олинган 400 та пилладан 70 тадан 130 тагача яроқсиз бўлиш эҳтимолини топинг.
Масала шартига кўра:
р=0,2; q=0,8; п=400; к₁=70; к₂=130.
Муавр–Лапласнинг интеграл формуласидан фойдаланамиз:
Р_п{ к₁к₂}=Ф(х)–Ф(х)
хъ ва х" ларнинг қийматларини топамиз:




Жадвалдан топамиз:
Ф(–1,25)= –Ф(1,25)= –0,39435, Ф(6,25)=0,5 чунки х>5 да Ф(х)=0,5.
Демак, изланаётган эҳтимол:
П₄₀₀ (70130)=Ф(6,25) + Ф(1,25)=0,5+0,39435=0,89435.
55. Ҳар бир тажрибада А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли 0,2 га тенг бўлса, унинг 400 та тажрибадан 80 тасида рўй бериш эҳтимолини топинг. Жавоб. Р₄₀₀ (80)0,04986.
56. Ўғил бола туғилиш эҳтимоли 0,51 га тенг. Туғилган 100 чақалоқнинг 50 таси ўғил бола бўлиш эҳтимолини топинг.
Жавоб. Р₁₀₀ (50)0,04565.
57. Ҳар бирида А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли р=0,5 га тенг бўлган 10000 та тажриба ўтказилади. Шунча тажрибада А ҳодиса рўй беришининг энг катта эҳтимолли сонининг эҳтимолини топинг.
Жавоб. Р₁₀₀₀₀ (500)0,007978.
58. Ишчи аёл 800 та урчуққа хизмат кўрсатади. т вақт оралиғида ҳар бир урчуқда йигирлаётган ипнинг узилиш эҳтимоли 0,005 га тенг. Узилишларнинг энг катта эҳтимолли сонини ва бу соннинг эҳтимолини топинг.
Жавоб. к₀=4, Р₈₀₀ (4)= 0,1954.
59. Бир соат давомида истаган абонентнинг коммутаторга телефон қилиш эҳтимоли 0,01 га тенг. Телефон станцияси 300 абонентга хизмат қилади. Бир соат давомида 4 та абонентнинг телефон қилиш эҳтимолини топинг.
Жавоб. Р₃₀₀ (4)0,169.
60. Ҳар бир отилган ўқнинг нишонга тегиш эҳтимоли 0,001 га тенг. Агар 5000 та ўқ отилган бўлса, камида 2 та ўқнинг нишонга тегиш эҳтимолини топинг.
Жавоб. Р₅₀₀₀ (2) 0,9596.
61. Факультет студентлардаинг имтиҳон комиссиясидан “4” ва “5” баҳолар билан ўтиш эҳтимоли 0,9 га тенг. Таваккалига олинган 400 студентдан 34 тадан 55 тагачаси ҳеч бўлмаганда битта фандан “4” дан паст баҳо олиш эҳтимолини топинг.
Жавоб. Р₄₀₀ (34 55) = 0,8351.
62. Ҳодисанинг 2100 та боғлиқ бўлмаган тажрибаларнинг ҳар бирида рўй бериш эҳтимоли 0,7 га тенг. Ҳодисанинг: а) камида 1470 марта ва кўпи билан 1500 марта; б) камида 1470 марта; в) кўпи билан 1469 марта рўй бериш эҳтимолини топинг.
Жавоб. а) Р₂₁₀₀(14701500)0,4235;
б) Р₂₁₀₀(14702100)0,5;
в) Р₂₁₀₀(01469)0,5.