Ўзбeкистон рeспубликаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

6–§. Боғлиқ бўлмаган тажрибалар кетма–кетлиги. Бернулли формуласи
1. Агар бирор А ҳодисанинг рўй бериш ёки рўй бермаслигини кузатиш учун бир нечта тажрибалар ўтказилаётган бўлиб, уларнинг ҳар бирида А ҳодисанинг рўй бериш ёки рўй бермаслик эҳтимоли қолган тажрибаларнинг натижаларига боғлиқ бўлмаса (боғлиқ бўлса), у ҳолда бу тажрибалар А ҳодисага нисбатан боғлиқ бўлмаган (боғлиқ бўлган) тажрибалар кетма–кетлигини ташкил этади дейилади.
Масалан, яшикда 5 та оқ ва л та қора шар бўлсин. Шу яшикдан бир неча марта биттадан шар олиш тажрибалари кетма–кетлигини кўрайлик. Бунда ҳар бир тажрибадан сўнг олинган шар яшикка қайтариб солинса (қайтариб солинмаса), бу тажрибалар кетма–кетлиги бир–бирига боғлиқ бўлмайди (бир–бирига боғлиқ бўлади).
Боғлиқ бўлмаган п та тажриба ўтказилаётган бўлиб, ҳар бир тажрибада кузатилаётган А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли р ва рўй бермаслик эҳтимоли q=1–р бўлсин. Бу ҳолда кузатилаётган А ҳодисанинг п та тажрибада к марта рўй бериш эҳтимоли Р_п (k) қуйидаги формула ёрдамида топилади:

бу ерда

Бу формула Бернулли формуласи дейилади.

Ҳодисанинг рўй беришлар сонини  десак, у ҳолда
а) 0    к–1 (к дан кам марта);
б) к + 1   n (к дан кўп марта);
в) к  n (камида к марта)
г) 0  к (кўпи билан к марта)
д) к₁к₂ (камида к₁, кўпи билан к₂ марта) ҳодисаларнинг рўй бериш эҳтимоли ушбу формулалар бўйича топилади:
а) P_n{0к–1= ,
б) Р_п{к+1n}= ,
в) Р_п{ кn}= ,
г) Р_п{ 0к}= ,
д) Р_п{ к₁к₂}= .
Булардаги Р_п(т) – Бернулли формуласидир.
Р_п(к) эҳтимоллар учун муносабат ўринли бўлишини кўриш қийин эмас. Ҳақиқатан ҳам,

ифода (рх+а)^п бином ёйилмасидаги х^к қатнашган ҳаднинг коэффициенти бўлгани учун p_n(к) ларни эҳтимолничг биномиал тақсимот қонуни дейилади.
2. Ҳодиса рўй беришининг энг катта эҳтимолли сони. Тайинланган п да Р_п(к) эҳтимол к нинг функцияси экани равшан.
Агар Р_n(к₀)Р_п(к) (кк₀) бўлса, у ҳолда к₀ сон ҳодиса рўй беришининг энг катта эхтимолли сони дейилади. Ушбу

нисбатини текширишдан қуйидаги натижага келинади:
энг катта эҳтимолли к₀ сон қуйидаги қўш тенгсизликдан аниқланади:
пр –q  к₀ <пр+р, бунда:
а) агар пр–q сон каср бўлса, у ҳолда битта энг катта эҳтимолли к₀ сон мавжуд бўлади;
б) агар пр –q сон бутун бўлса, у ҳолда иккита энг катта эҳтимолли к₀ ва к₀+1 сонлар мавжуд бўлади.
в) агар пр бутун сон бўлса, у ҳолда энг катта эҳтимолли сон к₀=пр бўлади.
Изоҳ. п етарлича катта бўлганда энг катта эҳтимолли сон к₀ нинг қиймати к₀  пр дан аниқланади.
Қуйидаги масалаларнинг ечилиши билан танишайлик.
1–масала. Чигитнинг унувчанлиги 80% бўлса, экилган 4 та чигитдан: а) учтасининг униб чиқиш; б) ҳеч бўлмаганда иккитасининг униб чиқиш эҳтимолини топинг.
. а) Шартга кўра n=4; к=3; р=0,8; q=0,2. Бернулли формуласига кўра: Р₄(3) = ·0,8³·0,2 = 0,4096.
б) А ҳодиса экилган 4 та чигитдан 2 таси ёки 3 таси, ёки 4 таси униб чиқишини, яъни ҳеч бўлмаганда иккитасининг униб чиқишини билдирсин.
Эҳтимолларни қўшиш теоремасига кўра:
Р₄(А) =Р₄ (ёки 2, ёки 3, ёки 4) = Р₄(2) + Р₄(3)+ Р₄(4).
Р₄(3) эҳтимол (а) пунктда ҳисобланган;
Р₄(2) = ·0,8²·0,2² = 0,1536;
Р₄(4) = ·0,8⁴·0,2⁰= 0,4036.
Демак, Р(А)=0,9728.
2–масала. Битта деталнинг яроқсиз бўлиш эҳтимоли р=0,05 бўлсин. Ихтиёрий олинган 10000 деталь ичида яроқсиз деталларнинг сони 50 тадан кўп бўлмаслик эҳтимолини топинг.
 – яроқсиз деталлар сони бўлсин.
:0, 1, 2, ......, 50
Р₁₀₀₀₀{050}=…..?

Р₁₀₀₀₀{050}=

(бундан кейинги ҳисоблаш анча қийин, шунинг учун уларни келтирмаймиз).
3–масала. Техник контрол бўлими 24 та деталдан иборат партияни текширмоқда. Деталнинг стандарт бўлиш эҳтимоли 0,6 га тенг. Стандарт деб тан олинадиган деталларнинг энг катта эҳтимолли сонини топинг.
Шартга кўра n=24; р=0,6; q=0,4. Стандарт деб тан олинган деталларнинг энг катта эҳтимолли сонини қуйидаги қўш тенгсизликдан топамиз:
пр–q  к₀ <пр+п
пр–q=24·0,6–0,4=14 бутун сон бўлгани учун энг катта эҳтимолли сон иккита:
к₀ =14 ва к₀+1=15.
50. Боғлиқ бўлмаган тажрибалар кетма–кетлигига мисоллар келтиринг.
51. Чигитнинг унувчанлиги 70% бўлса, экилган 5 та чигитдан: а) учтасининг; б) кўпи билан учтасининг; c) камида учтасининг униб чиқиш эҳтимолини топинг.
Жавоб. а) 0,3087; б) 0,4717; с) 0,8370.
52. Икки тенг кучли рақиб шахмат ўйнамоқда. Қайси эҳтимол каттароқ:
а) рақиблардан бирининг икки партиядан биттасини ютиш эҳтимолими ёки тўрт партиядан иккитасини ютиш эҳтимолими?
б) тўрт партиядан камида иккитасини ютиш эҳтимолими ёки беш партиядан камида учтасини ютиш эҳтимолими? Дуранг натижалар эътиборга олинмайди.
Жавоб. а) P₂(1)>P₄(2); б) Р₄(2)>Р₅ ( 3).
53. Икки мерган бир вақтда нишонга ўқ узмоқда. Битта ўқни узишда нишонга теккизиш эҳтимоли биринчи мерган учун 0,8 га, иккинчи мерган учун 0,6 га тенг. Агар бир йўла 15 марта ўқ узиладиган бўлса, иккала мерганнинг ҳам нишонга теккизишларининг энг катта эҳтимолли сонини топинг.
Жавоб. 7
54. Агар 49 та боғлиқ бўлмаган тажрибада ҳодиса рўй беришининг энг катта эҳтимолли сони 30 га тенг бўлса, тажрибаларнинг ҳар бирида ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли р ни топинг.
Жавоб. 0,60 <р 0,62.