Ўзбекистон республикаси

1.3. Қатор яқинлашишининг зарурий шарти.
Қатор яқинлашишининг зарурий шартини қараймиз, яъни шундай шартни аниқлаймизки, қатор яқинлашса бу шарт албатта бажарилади, бу шарт бажарилмаганда қатор узоқлашади.

Т е о р е м а. Агар (1) қатор яқинлашувчи бўлса, у ҳолда қаторнинг умумий хади чексиз ўсганда нолга интилади.

И с б о т и. (1) қатор яқинлашувчи , яъни лимит мавжуд бўлсин, бунда - қаторнинг

йиғиндиси(чекли сон). Аммо бу ҳолда , чунки → ∞ да (-1) → ∞.

Қаторнинг умумий ҳади ни хусусий йиғиндилар ва билан ифодалаймиз: _. Қатор умумий ҳадининг лимитини хисоблаймиз:

_.

Шундай килиб, агар қатор яқинлашувчи бўлса, у ҳолда

(3)

Шуни исботлаш талаб қилинган эди.

Н а т и ж а. Агар қаторнинг умумий хади да нолга интилмаса, у ҳолда қатор узоқлашади.

4-мисол.

қатор узоқлашувчи, чунки

≠0

(3) тенглик ўринли бўладиган ҳар кандай қатор хам яқинлашувчи бўлавермайди. Бу шартнинг бажарилиши қатор яқинлашиши учун зарурий, аммо етарли шарт эмас, яъни қатор умумий ҳадининг нолга интилиши билан қаторнинг якнлашувчи эканлиги келиб чикавермайди, қатор узоқлашувчи бўлиши хам мумкин. Масалан, гармоник қатор деб аталувчи

1+ (4)

қатор учун

бўлишига қарамай, у яқинлашувчи эмаслигини исботлаймиз. Гармоник қаторнинг дастлабки бир неча ҳадини қуйидагидек гуруҳлаб ёзамиз:

1+(

Ҳар қайси қавс ичидаги қўшилувчиларни уларнинг кичиги билан алмаштирамиз. Натижада

1++((

га эга буламиз.

Ҳар қайси қавс ичидаги қўшилувчилар йиғиндиси кичиклашди ва га тенг бўлди. Охирги қатор чексиз кўп қисмларга эга булганлиги сабабли уларнинг йиғиндиси чексизликка интилади. Демак, гармоник қаторнинг йиғиндиси албатта чексизликка интилади. Шундай килиб, биз гармоник қаторнинг узоқлашувчи эканлигини исботладик.
1.4. Қаторлар устида содда амаллар бажариш
Қаторлар устида амаллар бажаришнинг баъзи қоидалари билан танишамиз.

1-т е о р е м а (қаторни сонга кўпайтириш ҳақида). Агар

қатор яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси га тенг

бўлса; у ҳолдақатор хам яқинлашувчи булади ва унинг йиғиндиси га тенг булади , бунда -тайин сон.

И с б о т и . (1) ва (5) қаторларнинг -хусусий йиғиндиларини мос равишда ва билан белгилаймиз. У ҳолда қуйидагига эга буламиз:

,

бундан: .

Шундай килиб, (5) қатор яқинлашувчи, унинг йиғиндиси ∙S га тенг. Теорема исботланди.

2- т е о р е м а (қаторларни қўшиш хакида). Агар , қаторлар яқинлашувчи ва уларнинг йиғиндилари мос равишда га тенг бўлса, у ҳолда

қатор хам яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси га тенг булади.

5-мисол. Ушбу қатор йиғиндисини топинг.

Ечиш. Берилган қаторни қуйидагича ёзамиз:

Берилган қатор иккита чексиз камаювчи геометрик прогрессиянинг йиғиндиси бўлгани учун яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси қуйидагига тенг: