Ўзбекистон республикаси

Мавзуга доир саволлар.

1. 
   Мусбат хадли сонли қаторлар яқинлашишининг етарлилик аломатларини айтинг.
   
2. 
   Д ‘Aламбер аломати нимадан иборат? Уни исботланг. Мисоллар келтиринг.
   
3. 
   Коши радикал аломати нимадан иборат? Уни исботланг. Мисоллар келтиринг.
   
4. 
   Интеграл аломат нимадан иборат? Уни исботланг.
   
5. 
   Ушбу
   

қаторнинг да яқинлашувчи ва да узоқлашувчи эканини аниқланг.

6. 
   Мусбат ҳадли қаторнинг колдиғи интеграл аломат билан қандай баҳоланади?
   
7. 
   Раабе аломатининг афзаллиги нимада?
   

3-мавзу. Ишоралари навбатлашувчи (алмашинувчи) қаторлар.

1. 
   Ўзгарувчан ишорали қаторлар. Лейбниц теоремаси.
   

Ҳадларининг ишоралари ҳар хил бўлган қаторларни ўрганишга ўтамиз. Энг аввал ишоралари навбатлашувчи қаторлар деб аталувчи қаторларга тухталамиз. Бундай қаторларда ҳар бир мусбат ҳаддан кейин манфий ҳад ва ҳар бир манфий ҳаддан кейин мусбат ҳад келади. Ишоралари навбатлашувчи қаторни бундай ёзиш мумкин:

бунда -мусбат сонлар.

Ишоралари навбатлашувчи қаторлар яқинлашишининг етарли шартини қуйидаги теорема ифодалайди.

1 – т е о р е м а (Лейбниц теоремаси). Агар ишоралари навбатлашувчи

(1)

қаторда қатор ҳадларининг абсолют қийматлари камаювчи, яъни

(2)

бўлса, шу билан бирга умумий ҳад нолга интилса:

, (3)

у ҳолда (1) қатор яқинлашувчи бўлади, шу билан бирга унинг йиғиндиси 1-хадидан катта бўлмайди ва мусбат бўлади: .

И с б о т и. Олдин жуфт индексли хусусий йиғиндилар кетма-кетлигига қараймиз, уларни ушбу куринишда ёзамиз:

Демак, хусусий йиғиндилар кетма-кетлиги ўсувчи, (2) шартдан хар бир қавс ичидаги ифоданинг мусбат экани келиб чиқади.

Энди хусусий йиғиндини бундай кўчириб ёзамиз:

S_2m=u₁-(u₂-u₃)-…-(u_2m-2-u_2m-1)-u_2m.

(1) шартдан ҳар бир қавс ичидаги ифоданинг мусбат экани келиб чиқади. Шу сабабли бу қавсларни дан айириш натижасида биз дан кичик сонга эга бўламиз, яъни

Шундай килиб, хусусий йиғиндилар кетма-кетлиги билан биргаликда ўсувчи ва юқоридан чегараланган. Демак, у лимитга эга, яъни

шу билан бирга .

Энди тоқ индексли хусусий йиғиндилар ҳам лимитга интилишини исботлаймиз. Ҳакикатдан ҳам,

бўлгани учун да

га эга бўламиз, бунда (3) шартга кўра . Шу билан биз жуфт ларда хам, тоқ ларда ҳам эканини исботладик.

Демак, (1) қатор яқинлашувчи, шу билан бирга унинг йиғиндиси мусбат ва қаторнинг биринчи ҳадидан катта бўлмайди, яъни


Қатор қолдигини баҳолаш. Лейбниц теоремаси ишоралари навбатлашувчи қатор қолдиғини баҳолаш имконини беради.

2-т е о р е м а. Агар ишоралари навбатлашувчи

(1)

қатор Лейбниц теоремаси шартини каноатлантирса, у ҳолда унинг n- колдиги R_n абсолют қиймати буйича ташлаб юборилган ҳадларнинг биринчисининиг модулидан катта булмайди.

И с б о т и. Ишоралари навбатлашувчи (1) қатор Лейбниц теоремаси шартларини қаноатлантиргани учун у яқинлашувчи, у ҳолда қаторнинг -қолдиғи

нинг ўзи ишоралари навбатлашувчи қаторнинг йиғиндиси бўлади. Лейбниц теоремасига кўра бу йиғинди абсолют қиймат бўйича қатор биринчи ҳади модулидан катта бўлмаслиги керак, яъни

(1.4)

бўлиши керак.

Демак, қаторнинг йиғиндисини хусусий йиғинди билан алмаштиришда йўл қўйилидиган хато абсолют қиймати буйича танлаб юборилган ҳадларнинг биринчисидан катта бўлмайди. Охирги тенгсизликдан қолдикнинг модули берилган аниқлик дан катта бўлмайдиган номерни топишда фойдаланилади.

1-м и с о л. Ушбу

қаторнинг яқинлашишини текширинг.

Е ч и ш. Қаторнинг ҳадлари абсолют қиймати буйича камайиб боради:

ва

а_n=

Шу сабабли қатор яқинлашувчи.

2-м и с о л. 1-мисолдаги қатор йиғиндисини =0,01 гача аниқликда топинг. Қаторнинг n-колдиги

R_n=

учун қуйидаги бахога эгамиз:

Ушбу

ёки

тенгсизликни ечиб

ёки

га эга буламиз, деб оламиз,

Шундай килиб,

S_p=

Бу қийматни юздан биргача яхлитлаб, қатор йиғиндисининг такрибий қийматига эга буламиз: S