Ózbekstan respublikasí joqarí HÁm orta arnawlí bilimlendiriw ministrligi berdaq atíndaǵÍ qaraqalpaq mámleketlik universiteti janíndaǵÍ pedagog kadrlardí qayta tayarlaw hám olardíŃ QÁNÍgeligin jetilistiriw aymaqlíq orayí

3. Trigonometriyalıq teńlemeler hám teńsizliklerdi sheshiw usılları

A. Trigonometriyalıq teńlemelerdi sheshiw usılları

Bir funktsiyaģa keltiriw usılı

Eger teńlemede belgisizdiń turli trigonometriyalıq funktsiyaları qatnassa, bunday jaģdayda bul funktsiyalardıń barlıģın olardıń biri arqalı ańlatıw menen belgisiz funktsiyalardıń tek birewi qatnasqan trigonometriyalıq teńlemege keltiriw múmkin.

1- mısal. teńlemeni sheshiń.

Sheshim.tı qa almastıramız`

Bul teńleme tómendegi ápiwayı teńlemelerge ajıraladı`

Birinshi teńleme mına ulıwma sheshimge iye`

ekinshi teńleme sheshimge iye emes. Sebebi .

Bir funktsiyaģa keltirilip sheshiletuģın teńlemelerdiń biri hám qa qarata bir tekli bolģan



(1)

kórinistegi teńlemeler boladı. (1) kórinistegi teńlemeniń eki jaģın ge bólip, oģan teń kúshli

teńlemeni alamız.

2- mısal. teńlemeni sheshiń.

Sheshim. Berilgen teńlemeni birtekli teńlemege keltiriw ushın birdeyliginen paydalanamız`

.

ápiwayılastıramız` . Bul teńlemeniń eki jaģın qa bólip, desek, teńlemege iye bolamız. Bul teńleme hám sheshimlerge iye. Nátiyjede hám ápiwayı teńlemesine iye bolamız. Olardı sheship, berilgen teńlemeniń sheshimlerin tabamız`



Kóbeytiwshilerge ajıratıw usılı

Eger barlıq aģzalardı teńlemeniń shep tárepine ótkizgennen keyin shep jaģın kóbeytiwshilerge ajratıw múmkin bolsa, teńleme nolge teńlesken kóbeyme kórinisine keledi. Sońınan gezek penen hár bir kóbeytiwshini nolge teńlestirip, payda bolģan teńlemelerdi sheship shıģıw hám tabılģan barlıq sheshimlerdi bir kóplikke birlestiriw kerek.

3-mısal.teńlemeni sheshiń.

Sheshim.Barlıq qosılıwshılardı shep jaqqa ótkerip, trigonometriyalıq funktsiyalardıń qosındısın kóbeymege almastıramız hám kóbeytiwshilerge ajıratamız`

Berilgen teńleme tómendegi eki teńlemege ajratıladı, olardı sheshemiz`

4-mısal. teńlemeni sheshiń.

Sheshim. Teńlemeniń shep jaģın gruppalaymız`

.

Qawsırma ishindegi hár bir qosındını kóbeymege túrlendiremiz`

Aqırģı teńleme úsh teńlemege jayıladı`

olardı sheship tabamız`

Berilgen teńlemeniń shep jaģınıń hár bir qosılıwshısı tıń barlıq tabılģan mánislerinde maģanaģa iye. Jat sheshimlerge iye emes.

Sheshimler`



Járdemshi múyesh kiritiw usılı

(2)

kórinisindegi teńleme

(3)

teńlemeni sheshiw menen teń kúshli boladı. múyesh

teńlikler sistemasınan anıqlanadı. Eger , yaģnıy bolsa, (2) teńleme hám oģan teń kúshli bolģan (3) teńleme sheshimge iye`



Eger , yaģnıy bolsa, (2) teńleme sheshimge iye bolmaydı.

5-mısal. teńlemeni sheshiń.

Sheshim. Teńlemeniń hár eki jaģın ekige bólemiz`

.

Eger ekenligin esapqa alsaq, berilgen teńleme kórinisin aladı. Bul teńlemeni sheshemiz hám desek, hám sheshimler kópligin alamız.

6- mısal. teńlemeni sheshiń.

Sheshim. bolģanı ushın (2) kóriniste berilgen teńleme kórinisin aladı. múyesh qatnaslarınıń birinen anıqlanadı. bolsın. Onda berilgen teńleme sheshimge iye.

Ratsionallastırıw usılı

Mına

(4)

kórinistegi trigonometriyalıq teńlemeni múyeshler qosındısınıń trigonometriyalıq funktsiyaları járdeminde argumentlerdiń ratsional funktsiyasına keltiriw múmkin.

trigonometriyalıq almastırıwlarda desek, funktsiya O’zgeriwshisiniń ratsional funktsiyasına aylanadı.

Biraq bul almastırıwdan paydalanģanda berilgen teńleme ge qarata joqarı dárejeli teńlemege kelip qalıwı múmkin. Bunday jaģdaylarda yamasa almastırıwınan paydalanıw qolay boladı.

7- mısal. (2) teńlemeni sheshiń.

Sheshim.

Bul jerden ańlatpanı (2) ģa qoyıp, tiyisli almastırıwdan keyin ģa qarata

(4)

kvadrat teńlemeni alamız. bolsa, (7) teńleme

(5)

sheshimlerge iye boladı.

Tómendegi jaģdaylardı qaraymız.

Eger bolsa, (2) teńleme sheshimge iye bolmaydı. Sebebi (4) teńleme haqıyqıy sheshimlerge iye emes.

₄ hám bolsa, (4) teńleme haqıyqıy sheshimlerge iye boladı hám dan (2) teńlemeniń sheshimin alamız`



Eger bolsa, (2) teńleme eki topar sheshimler kópligine iye boladı`

hám
8- mısal. teńlemeni sheshiń.

Sheshim. Mına

almastırıwlar járdeminde berilgen teńleme kórinisin aladı. Qaralıp atırģan jaģdayda Joqarıda sanalģan 3-jaģdayģa iyemiz. Sonıń ushın berilgen teńleme eki

Sheshimler toparına iye boladı.

kórinisindegi teńleme almastırıwı menen algebralıq teńlemege keltiriledi. ģa qarata yamasakórinisindegi teńlemeni payda etemiz.

9-mısal.teńlemeni sheshiń.

Sheshim.desek, birdeylikten kelip shıģadı. Nátiyjede ģa qarata teńlemeni alamız. Bul teńlemeniń sheshimlerin tabamız` .

Solay etip, berilgen teńlemeni sheshiw tómendegi eki teńlemeni sheshiwge keltiriledi`

Trigonometriyalıq funktsiyalardıń dárejesin tómenletiw usılı

Trigonometriyalıq teńlemelerdiń dárejesin tómenletiw menen olardı ápiwayılastırıp sheshiw múmkin. Eger teńlemedehámtıń jup dárejeleri qatnassa, yarım argumenttiń trigonometriyalıq formulaları járdeminde dárejeni tómenletiw múmkin.

10-mısal.teńlemeni sheshiń.

Sheshim. almastırıwlardı orınlaymız, nátiyjede



teńlemeni alamız. Bul jerde desek, teńlemege iye bolamız. Bul teńleme jalģız haqıyqıy sheshimge iye. Nátiyjede

ápiwayı teńlemeni alamız. Bul teńlemeniń sheshimi berilgen teńlemeniń sheshimi boladı`

11-mısal. teńlemeni sheshiń.

Sheshim. Bul teńlemeniń shep hám oń jaģın bahalaymız. bolģanı ushın berilgen teńleme teńlemeler sistemasına teń kúshli boladı. Bul teńlemeler sheshimleriniń kópligi tómendegishe boladı`

(6)

Sistemanıń, sonday-aq, berilgen teńlemeniń sheshimleri tıń bir waqıtta eki kóplikke tiyisli bolģan mánislerinen ibarat boladı. tıń bunday mánislerin tabıw ushın sistema teńlemeleri sheshimleriniń oń jaqların teńlestirip, payda bolģan teńlikti qanaatlandırıratuģın hám nıń pútin mánislerin tabamız`

Aqırģı teńlikti qanaatlandıratuģın hám pútin sanları tómendegishe boladı`

Demek, bolģanda (6) sheshimler kópligi ulıwma noqatlarģa iye, yaģnıytıń mánisleri birdey boladı`

Berilgen teńleme sheshimge iye.