Ўзгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламалар. Бир жинсли тенгламалар

ЎЗГАРУВЧИЛАРИ АЖРАЛАДИГАН ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР. БИР ЖИНСЛИ ТЕНГЛАМАЛАР

Режа:

1. 
   Ўзгарувчилари ажралган тенгламалар
   
2. 
   Ўзгарувчилари ажраладиган тенгламага келитириладиган тенгламалар
   
3. 
   Бир жинсли тенгламалар
   

Таянч сўз ва иборалар: Ўзгарувчилари ажралган тенгламалар, бир жинсли тенгламалар
Ушбу
(1)
кўринишдаги тенглама ўзгарувчилари ажраладиган дифференциал тенглама бўлиб, бу ерда ва - берилган функциялар. Ўзгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламанинг умумий интеграли тенгламани ҳадма - ҳад интеграллаш билан топилади:

Қуйидаги
(2)
кўринишдаги тенглама ҳам ўзгарувчилари ажраладиган тенглама бўлади,бу тенгликнинг иккала қисмини ифодага бўлиш билан у (1) кўринишга келтирилади ва умумий интеграли топилади.
Ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли
(3)
дифференциал тенглама ҳам (1) кўринишга келтирилади. Бунинг учун охирги тенгликнинг иккала қисмини ифодага кўпайтириб, эканлигини эътиборга олиш керак.
Эслатма: Юқоридаги (2), (3) тенгламаларнинг ёки функцияларига бўлиш натижасида, тенглама умумий ечимдан келиб чиқмайдиган ечимларга ҳам эга бўлиши мумкин.
Ушбу
(4)
(бу ерда - берилган ўзгармас сонлар) кўринишдаги тенгламалар алмаштириш ёрдамида ўзгарувчилари ажраладиган тенгламага келтирилади.
1-мисол. Ушбу дифференциал тенгламанинг шартни қаноатлантирувчи ечимини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламани (1) кўринишга келтириб, интегралласак, - умумий ечимни оламиз. Шу тенгламанинг шартни қаноатлантирувчи ечими кўринишда бўлади.
2-мисол. Тенгламани ечинг:

Ечиш. Бу тенглама ўзгарувчилари ажраладиган тенгламадир. Унинг иккала томонини ифодага бўлиш билан ўзгарувчиларини ажратамиз ва интеграллаймиз. Натижада кўринишдаги умумий интегрални оламиз.
3-мисол. Тенгламани ечинг:
Ечиш. Бу тенгламани алмаштириш ёрдамида ушбу тенгламага келтирамиз:
.
Ўзгарувчиларини ажратиб интеграллаймиз.
.
Интегрални ҳисоблаб ечимга эга бўламиз. Агар бўлса, бўлиб ҳам тенгламанинг ечими бўлади. бўлганлиги учун ва функциялар умумий ечимни ифодалайди.
Ушбу
(5)
кўринишдаги тенглама бир жинсли дифференциал тенглама¹ дейилади, бу ерда -берилган функция. Бу тенгламани ечиш учун, одатда, алмаштириш бажарилади ва ифодаларни (5) тенгламага қўйиб,

кўринишдаги ўзгарувчилари ажраладиган тенгламани ҳосил қиламиз ((3) тенгламага қаранг).
Энди бир жинсли тенгламанинг бошқа кўриниши билан танишамиз.
функция берилган бўлсин. Агар ихтиёрий ҳақиқий сон учун шундай ҳақиқий сон топилсаки, тенглик бажарилса, у ҳолда функция - тартибли бир жинсли функция дейилади.
Агар ва функциялар бир хил тартибли бир жинсли функциялар бўлса, у ҳолда
(6)
тенглама бир жинсли дифференциал тенглама² бўлади. Бу тенглама ҳам алмаштириш ёрдамида ўзгарувчиси ажраладиган тенгламага келтириб ечилади.
4-мисол. Тенгламани ечинг:
(7)
Ечиш. (7) тенгламанинг ечими эмаслигини эътиборга олиб, тенгламанинг иккала томонини x² ифодага бўламиз ва кўринишдаги тенгламага эга бўламиз. ва ифодаларни охирги тенгламага қўйиб, ҳосил бўлган ўзгарувчилари ажраладиган тенгламанинг умумий интегралини топамиз: . Бундан ташқари, (7) тенглама умумий интегралдан келиб чиқмайдиган ечимга ҳам эга.
5-мисол. Тенгламани ечинг:
(8)
Ечиш. ва функциялар бир хил иккинчи тартибли бир жинсли функциялардир. Ҳақиқатан ҳам,

ва ифодаларни (8) тенгламага қўйиб, бир неча алгебраик амалларни бажариб, деб тенгламага эга бўламиз. Охирги тенгламанинг умумий интегралини кўринишда топамиз. ва ўзгарувчиларга қайтиб, ушбу жавобни оламиз:

Назорат саволлари
1.Қандай тенглама ўзгарувчиларга ажралган тенглама дейилади?
2. Ўзгарувчилари ажраладиган тенгламанинг умумий ечимидан келиб чиқмайдиган хусусий ечимларни қандай аниқлаш мумкин?
3.Бир жинсли функцияга таъриф беринг.
GLOSSARIY
Бир жинсли дифференциал тенглама – ушбу

кўринишда ифодаласа бўладиган тенглама, бу ерда -берилган функция
Homogeneous equation is an equation which can be represented as follows
,
where  is a given function.

1 Robinson J.C. An Introduction to Ordinary Differential equations, Cambridge University Press 2013.

2 Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary Differential equations. Birkhhauzer. Germany, 2010.