1- маъруза: Ўзгарувчиси ажраладиган тенгламалар. Бир жинсли тенгламалар

1- Маъруза: ЎЗГАРУВЧИСИ АЖРАЛАДИГАН ТЕНГЛАМАЛАР.
БИР ЖИНСЛИ ТЕНГЛАМАЛАР.

Режа:

1. 
   Бир жинсли функция тушунчаси.
   
2. 
   Бир жинсли тенглама ва уни ечиш усули.
   
3. 
   Бир жинсли тенгламаларга келтириладиган тенгламалар.
   

Таянч сўзлар:Ўзгарувчилари ажраладиган тенглама. Бир жинсли функция. Бир жинсли тенглама.
Ҳосилага нисбатан ечилган дифференциал тенгламаларда, агар
f(x,y)=f₁(x)d₁(y)
кўринишдаги функция бўлса, у ҳолда тенглама
(1)
кўринишга эга бўлади. Бунда f₁(x) бирор J₁ интервалда d₁(y) эса J₂ интервалда аниқланган функциялардир.
(1) кўринишдаги дифференциал тенглама ўзгарувчилари ажраладиган дифференциал тенглама дейилади.
Теорема: Агар axb, cyd ўзгарганда f₁(x)d₁(y) функция узлуксиз, ҳамда d₁(y)0 бўлса, у ҳолда
q={(x,y): axb, cyd}
тўғри тўртбурчак соҳани ихтиёрий (x₀,y₀) нуқтасидан (1) тенгламанинг битта ва фақат битта графиги ўтади.
эканлигидан фойдаланиб, (1) тенгламани

кўринишда ёзиб оламиз. Сўнгра интеграллаб K₁(y)-F₁(x)=C ёки F(x,y)=C кўринишдаги умумий интеграл топилади.
Мисол: Тенгламани ечинг
бўлиб y0 ydy= - xdx
кўринишда ўзгарувчиларни ажратамиз ва интеграллаймиз, у ҳолда ёки кўринишдаги умумий интегралга эга бўламиз.
Ўзгарувчилари ажраладиган тенгламалар ушбу кўринишда ҳам бўлиши мумкин.
M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 (2)
бу кўринишдаги тенгламани ҳам (1) кўринишга келтирамиз, яъни

Агар белгилаш киритсак, (2) тенглама (1) кўринишни олади. Уни юқорида кўрилган усулда ечимини топиш мумкин.
Қуйидаги дифференциал тенглама берилган бўлсин.
М(х,у)dx+N(x,y)dy=0 (3)

Агар М(х,у) ва N(х,у) функциялар бир хил тартибдаги бир жинсли фунциялар бўлса, у ҳолда (3) тенглама бир жинсли тенглама дейилади. Математик анализ курсидан маpлумки, берилган f(x,y) функция n - тартибли бир жинсли функция дейилади, агар ихтиёрий t учун

f(tx,ty)= (4)