1 Chiziqli tenglamalar sistemalari h

1-Ma’ruza: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Gauss usuli. Matritsa determinantini Gauss usuli bilan hisoblash. Teskari matritsani Gauss usuli bilan hisoblash. Iteratsiya usuli

1.1. Chiziqli tenglamalar sistemalari haqida umumiy ma’lumotlar.

N ta noma’lumli t ta tenglamalar sistemasini qaraymiz:

(1)

a_tk koeffitsientning belgilanishidagi birinchi indeks teng­lama nomerini, ikkinchi indeks esa noma’lum nomerini bildiradi. Har bir noma’lum indeksli bitta x harfi bilan belgilangan bo‘lib, bu indeks noma’lumning nomerini bildiradn.

Agar chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo‘lsa, u birgalikda, agar yechimga ega bo‘lmasa, u birgalikdaemas deyiladi.

Birgalikda bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘lsa, u aniqlangan, agar cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘lsa, u aniqmas sistema deb ataladi.

Agar ikkita birgalikdagi tenglamalar sisgemasidan birining ha’ bir yechimi ikkinchisining yechimi va aksincha, ikkinchisiiing har bir yechimi birinchisining yechimi bo‘lsa, bu sistemalar teng kuchli sistemalar deb ataladi.

Quyidagi almashtirishlar tenglamalar sistemasini unga teng kuchli sistemaga o‘tkazishini isbotlash mumkin:

1. 
   istalgan ikkita tenglamaning o‘rinlarini almashtirish;
   
2. 
   tenglamalardan istalgan birining ikkala tomonini noldan farqli istalgan songa ko‘paytirish;
   
3. 
   sistema tenglamalaridan birining ikkala tomoniga boshqa bir tenglamaning istalgan haqiqiy songa ko‘paytirilgan mos qismini qo‘shish.
   

Bu almashtirishlarni ham matritsalarni elementar almashtirishlarga mos qilib, elementar almashtirishlar deb ataymiz.

Bir nechta shunday almashtirishlardan so‘ng sistemada barcha koeffitsientlari va ozod hadi nolga teng bo‘lgan tenglama hosil bo‘lishi mumkin. Bunday tenglamani noma’lumlarning istal­gan qymatlari qanoatlantirgani uchun uni tashlab yuborish mumkin. Bu holda biz berilgan sistemaga teng kuchli, lekin un­dan bitta kam tenglamaga ega bo‘lgan sistemani hosil qilamiz.

Agar elementar almashtirishlarni tatbiq qlinganidan so‘ng sistemada chap tomonining barcha koeffitsientlari nolga teng, ozod hadi esa noldan farqli tenglama hosil bo‘lsa, bu narsa noma’lumlarning hech qanday qiymatlari bu tenglamani qanoatlantirmasligini ko‘rsatadi va demak, hosil bo‘lgan sistema birgalikda emas. Binobarin, dastlabki sistema ham bir­galikda emas.

Aytaylik, bizga n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

(2)

Bu chiziqli tenglamalar sistema noma’lumlarining koeffitsientlaridan

(3)

matritsani hamda ozod hadlari va noma’lumlaridan

(4)

matritsalarni tuzamiz. Bu matritsalar asosida chiziqli tenglamalar sistemasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz

A ^. X = B

Ta’rif: Agar detA0 bo‘lsa, A matritsa maxsus bo‘lmagan matritsa, detA=0 bo‘lsa, A matritsa maxsus matritsa deyiladi.

Agar A maxsus bo‘lmagan matritsa bo‘lsa, ya’ni uning determinanti

(5)
bo‘lsa, (2) sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun tadbiq qilinadigan usullarni ikkita aniq va taqribiy yechish usullaridan iborat bo‘lgan guruhlarga bo‘lamiz.

1.2. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning Gauss usuli

(noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish usuli)
Karl Fridrich Gauss(taniqli nemis matematigi (1777-1855)) usulining mohiyati quyidagidan iborat. Qulaylik uchun (2) chiziqli tenglamalar sistemasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

(6)

Bu sistemaning birinchi yetakchi-tenglamasidagi birinchi noma’lum oldidagi a₁₁ koeffitsient noldan farqli bo‘lsin: a₁₁0. Agar a₁₁= 0 bo‘lsa, bu holda yetakchi-tenglamani sistemadagi tenglamalaridan birortasida x₁ ning koeffitsient noldan farqli bo‘lsa shu tenglamala bilan o‘rinlarini almashtiramiz.

Dastlab (6) sistemaning birinchi tenglamasidan boshqa barcha tenglamalaridan x₁ noma’lumni yo‘qotamiz. Buning uchun eng avvalo 1-tenglamaning har ikkala tomonini a₁₁0 koeffi­tsientga bo‘lamiz;

bu yerda (7)

bu holda berilgan sistemaga teng kuchli ushbu sistemani hosil qilamiz:



Endi bu sistemaning birinchi tenglamasidan foydalanib, keyingi tenglamalardagi x₁ noma’lumni yo‘qotish, ya’ni uning koeffitsentini nolga aylantirish uchun quyidagi amallarni ketma-ket bajaramiz. Birinchi tenglamani a₂₁ ga ko‘paytiramiz va nkkinchi tenglamasidan ayiramiz. So‘ngra birinchi tenglamani a₃₁ ga ko‘paytiramiz va uchinchi tenglamadan ayiramiz va hokazo. Natijada yana berilgan sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:

(8)

bu yerda quyidagicha belgilashlar kiritilgan:

(9)

Endi (8) sistemaning ikkinchi tenglamasini koeffitsientga bo‘lamiz (uni noldan farqli deb faraz qilamiz). So‘ngra hosil bo‘lgai sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma-ket , ,..., ga ko‘paytiramiz va sistemaning uchinchi, to‘rtinchi ,..., n-tenglamalaridan mos ravishda navbati bilan ayiramiz.



;

(10)

Bu jarayonni davom ettirib quyidagi,

(11)

uchburchak sistemaga kelamiz, bujarayonni olg‘a borish deyiladi. Uchburchak sistema bo‘lgani holda so‘nggi(oxirgi) tenglamadan ni topamiz; so‘ngra x_n ning qiymatini oldingi tenglamaga qo‘yib, x_n-1 ni topamiz va hokazo, bu quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi bu jarayonni orqaga qaytish deyiladi.