1. Ferma teoremasi intervalda aniqlangan

8 – MAVZU. FUNKSIYA HOSILASINING AYRIM TADBIQLARI. ANIQMASLIKLARNI OCHISH.


Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba`zi teoremalar. Analizning asosiy teoremalari
1. Ferma teoremasi. intervalda aniqlangan funksiya bu intervalning biror nuqtasida eng kata va eng kichik qiymatini qabul qilsin. Bunday holda, agar bu funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud bo`lsa, u nolga teng bo`ladi.
Isboti. Aniqlik uchun funksiyaning intervaldagi eng katta qiymati bo`lsin. ekanligini ko`rsatamiz. Hosilaning ta`rifiga ko`ra:

Funksiya nuqtada eng katta qiymatni qabul qilgani uchun ning iхtyoriy qiymatida quyidagiga egamiz:

Bundan, agar bo`lsa, va demak,

Agar bo`lsa, va
Shunday qilib, hosila musbat ham, manfiy ham bo`lla olmaydi. Demak, .
Ferma teoremasining geometrik ma`nosini quyidagicha tushuntirish mumkin. Hosila funksiya grafigida urinma abssissalar o`qi bilan hosil qilingan burchak tangenisiga teng bo`lgani uchun tenglik funksiya eng katta va eng kichik qiymatga ega bo`lgan abssissali nuqtada funksiya grafigiga o`tkazilgan urinma o`qiga parallel bo`ladi (7 – rasm).

7 – rasm
2 . Roll` teoremasi. Agar funksiya segmentda uzluksiz, uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi va segmentning oхirlarida nolga aylansa, ya`ni bo`lsa, u holda hosila bu segmentning juda bo`lmaganda ichki bir nuqtasida nolga teng bo`ladi.
Isboti. Bu funksiya segmentda uzluksiz bo`lgani uchun u o`zining eng katta va eng kichik qiymatiga erishadi.
Agar bo`lsa, funksiya segmentda o`zgarmas va demak, segmentning iхtiyoriy nuqtasida uning hosilasi .
Endi bo`lsin, u holda u sonlardan biri, masalan, shuning uchun, agar eng katta qiymat ga nuqtada erishilsa: u holda nuqta segmentning ichki nuqtasi bo`lishi, intervalga (chunki segmentning oхirlarida) tegishli bo`lishi kerak. Demak, Ferma teoremasiga ko`ra .
Roll` teoremasining geometrik ma`nosini quyidagicha tushuntirish mumkin: Agar segmentda uzluksiz va uning ichida differensiallanuvchi funksiyaning grafigi va nuqtalarda kesib o`tsa, u holda nuqtalarning o`rtasida hech bo`lmaganda bitta , nuqta topiladiki, bunda funksiya grafigiga o`tkazilgan urinma abssissalar o`qiga parallel bo`ladi.