1. Sonli qator tushunchasi Sonli qatorlarning yaqinlashuvchiligi

11-ma’ruza. Sonli qatorlar. Sonli qatorlarning yig’indisi. Sonli qator yaqinlashishining asosiy teoremalari. Musbat hadli qatorlarning yaqinlashuvchiligi. Taqqoslash teoremalari. Dalamber va Koshi alomatlari
Reja:
1.Sonli qator tushunchasi
2.Sonli qatorlarning yaqinlashuvchiligi.
3. Sonli qatorlarni yaqinlashishga tekshirish alomatlari v ataqqoslash teoremalari
Tayanch so’z va iboralar: sonli qator, Dalamber alomati, Koshi alomati.
Musbat qatorlarning yaqinlashuvchi bo`lishlilik sharti.
Biror
(1)
qator berilgan bo`lsin.
Agar bo`lsa, (1) qator musbat hadli qator yoki qisqacha musbat qator deb ataladi.
1-teorema. (1) musbat qator yaqinlashuvchi bo`lishi uchun uning qismiy yig`indilar ketma – ketligining yuqoridan chegaralangan bo`lishi zarur va yetarlidir.
1 – natija. Musbat hadli qatorning qismiy yig`indilar ketma – ketligi yuqoridan chegaralanmagan bo`lsa, qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Misol. Ushbu qatorni yaqinlashuvchanlikka tekshiring:

Yechilishi. Berilgan qatorning umumiy hadi uchun quyidagi tengsizlik o`rinli:

chunki U holda

qismiy yig`indilar ketma – ketligi yuqoridan 1 soni bilan chegaralangan. Demak, yuqoridagi 1 – teoremaga asosan berilgan qator yaqinlashuvchi.
2 – teorema. Agar (1) qatorning hadlari moton kamayuvchi, ya`ni bo`lsa, u holda (1) qator bilan
(2)
qator bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo`ladi.
Misol. Ushbu umumlashgan garmonik qatorni yaqinlashishga tekshiring:
.
Yechilishi. 1) bo`lganda berilgan qatorning uzoqlashuvchi ekanligi quyidagi teoremadan kelib chiqadi, chunki bu holda qatorning umumiy hadi da 0 ga intilmaydi.
Teorema. Agar berilgan qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda bo`ladi.
2) p>0 bo`lsin, u holda 2 – teoremadan foydalanib, qator yaqinlashuvchiligini tekshiramiz, chunki uning hadlari monoton kamayuvchi, ya`ni . Bu holda

bo`ladi. Bu yerda bir necha nol bo`lishi mumkin:
a)p>1 bo`lsa, u holda va cheksiz kamayuvchi geometrik qator hosil bo`ladi.
b) 0
hosil bo`ladi. Bu qator esa uzoqlashuvchi.
Shunday qilib, berilgan umumlashgan garmonik qator, 2 – teoremaga asosan, p>1 bo`lganda yaqinlashuvchi, bo`lganda uzoqlashuvchi bo`ladi.
Musbat hadli qatorlarni taqqoslash haqidagi teoremalar
Ikkita
(3)
(4)
musbat qatorlar berilgan bo`lsin.
3 – teorema. Agar n ning biror qiymatidan boshlab barcha lar uchun tengsizlik o`rinli bo`lsa, (4) qatorni yaqinlashuvchi bo`lishidan (3) qatorning ham yaqinlashuvchi bo`lishi yoki (3) qatorning uzoqlashuvchi bo`lishidan (4) qatorning ham uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi.
4 – teorema. Agar da nisbat

limitga ega bo`lsa, u holda:
a) k bo`lganda (4) qatorning yaqinlashuvchi bo`lishidan (3) qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi;
b) k>0 bo`lganda (4) qatorning uzoqlashuvchi bo`lishidan (3) qator ning uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi.
2 – natija. Agar
,
limit o`rinli bo`lib, bo`lsa, (3) va (4) qatorlar bir vaqtda yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi bo`ladi.
3 – natija. Agar da bo`lsa, (3) va (4) qatorlar bir vaqtda yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi bo`ladi.
5 – teorema. Agar n ning biror qiymatidan boshlab barcha lar uchun

tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda (4) qatorning yaqinlashuvchi bo`lishidan (3) qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi yoki (4) qatorning uzoqlashuvchi bo`lishidan (3) qatorning uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi.
3 – misol. Qatorni yaqinlashishga tekshiring: . Yechilishi. Ravshanki, barcha lar uchun

bo`ladi. Ma`lumki, geometric qator yaqinlashuvchi. Demak, 3 – teoremaga ko`ra, berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.