11-Mavzu. Invariant qism fazolar. Xos son va xos vektorlar

11-Mavzu. Invariant qism fazolar.Xos son va xos vektorlar.


1.Invariant qism fazolar. Agar chiziqli R fazoda biror sonli funksiya, masalan, chiziqli yoki bichiziqli funksiya berilgan bo‘lsa va u bizni faqat R fazoning biror R₁ dan iborat qism fazodagina qiziqtirsa, u holda biz uni faqat R₁ da berilgan deb hisoblashimiz va R o‘rniga faqat R₁ nigina qarashimiz mumkin.
Chiziqli operatorlarga kelsak, bu yerda ish butunlay boshqachadir. Darhaqiqat, chiziqli operator biror vektorni R₁ qism fazodan R₁ ga tegishli bo‘lmagan vektorga o‘tkazib yuborishi mumkin va bu holda biz faqat R₁ qism fazo bilangina chegaralanib qola olmaymiz.
1-ta’rif. fazoga tegishli chiziqli operator bo‘lsin. Agar R₁ ning har bir х vektori uchun Ах vektor ham R₁ ga tegishli bo‘lsa chiziqli R₁ qism fazo А ga nisbatan invariant qism fazo deb ataladi.
Bundan ko‘rinadiki, invariant R₁ qism fazoda А chiziqli operatorni o‘rganishda bu operatorni faqat R₁ da qarash mumkin.
Faqat noldangina iborat bo‘lgan qism fazo hamda butun fazo trivial invariant qism fazolardir.
1–misol. R – uch o‘lchovli fazo va А esa, noldan o‘tgan biror o‘q atrofida aylanish bo‘lsin. Bu holda invariant qism fazolar ushbular: a) aylanish o‘qi (bir o‘lchamli invariant qism fazo), b) koordinatalar boshidan o‘tgan va bu o‘qqa ortogonal bo‘lgan (tekislik ikki o‘lchamli invariant fazo).
2–misol. R – tekislik. А operator – tekislikni Х o‘q bo‘yicha marta, Y o‘q bo‘yicha esa, marta cho‘zishdan iborat. Boshqacha aytganda, agar z vektor ga teng bo‘lsa, u holda
,
bunda - o‘qlardagi birlik vektorlar. Bu holda Х hamda Y koordinata o‘qlari bir o‘lchamli invariant qism fazolardan iborat. Agar bo‘lsa, u holda А – o‘xshashlik koeffitsiyenti bo‘lgan o‘xshashlik operatori bo‘ladi. Bu holda koordinatalar boshidan o‘tgan har bir to‘g‘ri chiziq invariant qism fazo bo‘ladi.