4-§. Стилтьес интегралининг геометрик маъноси ва интегрални бахолаш. 13. Стилтьес интегралининг геометрик маъноси

4-§. Стилтьес интегралининг геометрик маъноси ва интегрални бахолаш.
13. Стилтьес интегралининг геометрик маъноси.
Айтайлик, ва функциялар бирор оралиқда аниқланган бўлиб, қуйидаги шартларни қаноатлантирсин:
1) ва ,
2) функция да қатъий ўсувчи бўлиб, узилиш нуқталарига (сакрашларга ) эга бўлиши ҳам мумкин.
Ушбу
(26)
Стильтес интегралини қараймиз. Қуйидаги
(27)

параметрик тенгламалар текисликда бирор чизиқни, умуман олганда узилишга эга бўлган чизиқни аниқлайди.

Агар бирор нуқтада функция сакрашга эга бўлса,

бўлади ва нуқталарга функция OУ ўқидаги 1 та нуқтани мос қўяди.
ва нуқталарни кесма ёрдамида туташтирилса, бу кесма ОХ ўқига параллел бўлади ва чизиқни нуқтадаги сакрашидан қутиламиз.
Бошқа сакраш нуқталарида хам шу жараённи амалга оширсак, чизик узулуксиз чизиққа айланади. Хосил бўлган чизиқни деб белгилаймиз. (1-чизма)










1-чизма


Энди (26)-интегралнинг қиймати юқоридан чизик, қуйидан ОХ ўки, ён ёқларидан ва вертикал чизиқлар билан чегараланган эгри чизиқли трапециянинг юзига тенг бўлишини кўрамиз.
◄ кесмада ушбу

тенгсизликларни қаноатлантирувчи ихтиёрий нуқталар ёрдамида қисмларга ажратамиз. Натижада, ОХ уқидаги кесма ҳам

нуқталар ёрдамида қисимларга ажралади.
ва
деб белгилаб, Стилтьес - Дарбунинг қуйи ва юқори йиғиндиларини тузамиз:

Бу йиғиндиларнинг қиймати мос равишда берилган шаклниниг ичида ётган ва уни ўз ичига олган кўпбурчакнинг юзаларига тенг бўлади. (26)-интеграл яқинлашувчи бўлгани учун

бўлади.►
14. Стилтьес интеграли учун ўрта киймат хақида теорема.
Фараз қилайлик, [a,b] кесмада берилган функция чегараланган бўлсин:

9- теорема. Агар [a,b] кесмада берилган функция монотон ўсувчи бўлиб, Стилтьес интеграли мавжуд бўлса, у холда ушбу
(28)
тенглик ўринли бўлади, бу ерда
◄[a,b] кесмани оралиқларга бўлиб, Стилтьеснинг интеграл йиғиндисини тузамиз:

Бу тенглик ва тенгсизликдан фойдалансак, қуйидаги тенгсизликка келамиз:

Бу тенгсизликда да лимитга ўтиб

ёки

эканлигини топамиз. Агар

деб белгиласак, бўлиб, охирги тенгликдан исбот қилишимиз керак булган (28)–тенглик келиб чиқади.►
Натижа. Агар 9-теоремада бўлса, унда шундай нуқта топиладики,

тенглик бажарилади.
15. Стильтес интегралини бахолаш.
Стильтес интегралини ўрганиш жараёнида амалиётда функция узлуксиз ва функция чекли вариацияга эга бўлган хол мухим ахамиятга эга. Бундай ҳолда Стилтьес интегралини қуйидагича бахолаш мумкин.
10-теорема. Агар ва чекли вариацияли функция бўлса, унда
(29)
тенгсизлик ўринли бўлади.
Бу ерда

◄Стилтьес йиғиндисини тузиб, уни баҳолаймиз:

(29).►
11-теорема. - чекли вариацияли функция ва бўлсин. Унда учун бўлганда
(30)
бўлади.
◄

(( бўлгани учун Кантор теоремасига кўра учун бўлганда бўлади)) .►