6-§. ChiziQning yopishma tekisligi. Tayanch tushuncha va munosabatlar
Download 146.76 Kb.
|
1 2
|
6-§. ChiziQning yopishma tekisligi. Tayanch tushuncha va munosabatlar. Chiziqning yopishma tekisligi, yopishma tekislikning vektor tenglamasi, parametrik va oshkormas tenglamalri bilan berilgan chiziq yopishma tekisligining tenglamasi. Evklid fazosida chiziq, unga tegishli P nuqta va P nuqtadan o‘tuvchi tekislik berilsin (33–chizma). chiziqda P nuqtaga yaqin joylashgan Q n uqtani olib, Q nuqtadan P nuqtagacha bo‘lgan masofani d, Q nuqtadan tekislikkacha bo‘lgan masofani bilan belgilaymiz: PQ = d, QN = . Ta’rif. Q nuqta chiziq bo‘ylab P nuqtaga intilganda nisbat nolga intilsa, tekislikni 33–chizma. chiziqning P nuqtasidagi yopishma tekisligi deb ataladi. Ta’rifdan kelib chiqadiki, agar chiziq biror tekislikda yotsa, u vaqtda chiziqning ixtiyoriy nuqtasidan shu tekislikkacha bo‘lgan δ masofa nolga teng bo‘lgani uchun, tekislik chiziqning ixtiyoriy nuqtasidagi yopishma tekisligi bo‘ladi. Masalan, aylana yotgan tekislik, shu aylananing istalgan nuqtasidagi yopishma tekisligi bo‘ladi. Shuningdek to‘g‘ri chiziq orqali o‘tuvchi har qanday tekislik, shu to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasidagi yopishma tekisligi bo‘ladi. Keltirilgan misollar ko‘rsatadiki, chiziqning bitta nuqtasida bittadan ortiq yopishma tekislik mavjud bo‘lishi ham mumkin ekan. Quyidagi teorema yopishma tekislikning mavjudlik va yagonalik shartlarini to‘la oydinlashtirib beradi. Teorema. Ikki marta differensiallanuvchi chiziqning har bir nuqtasida yopishma tekislik mavjud bo‘lib, u yoki yagona yoki chiziqning urinmasidan o‘tuvchi har qanday tekislik bo‘ladi. Agar chiziqning vektor tenglamasi bo‘lsa, u vaqtda chiziqning P(to) nuqtasidagi yopishma tekisligi va vektorlarga parallel bo‘ladi. Isbot. chiziqning P(to) nuqtasida yopishma tekislik mavjud bo‘lsin deb, uning va vektorlarga parallel ekanligini isbotlaymiz. P(to) nuqtaning radius vektori bo‘lib, P(to) nuqtaga yaqin bo‘lgan Q(to+Δt) nuqtaning radius vektori bo‘lsin 34–chizma. (34–chizma). U vaqtda ya’ni tekislikka perpendikulyar bo‘lgan birlik vektor olib, uni bilan belgilaymiz. vektor bilan vektorni skalyar ko‘paytiramiz: bu yerda = NPQ. Demak, PNQ uchburchakdan (34–chizma): Bu yerdan (2) va (3) tengliklardan kelib chiqadi. Bu yerda bo‘lgani uchun nisbatni qaraylik, (1) va (4) tengliklarga asosan: Teylor formulasiga asosan bu yerda lar cheksiz kichik vektorlar. (5) tenglik o‘ng tomonining surat va maxrajini (Δt)2 ≠ 0 ga bo‘lsak, quyidagi ifoda hosil bo‘ladi: Δt→0 da (6) tenglik o‘ng tomonining maxraji ga intiladi. Shu sababli Δt→0 da nisbat nolga intiladi, faqat va faqat shu vaqtdaki, agarda (6) tenglik o‘ng tomonining surati nolga intilsa. bo‘lgani uchun, bu faqat va faqat tengliklar bir vaqtda bajarilganda ro‘y beradi. Demak, faqat va faqat va vektorlar bir vaqtda vektorga perpendikulyar bo‘lganda, ya’ni ular bir vaqtda tekislikka parallel bo‘lganda (6) tenglik o‘ng tomonining surati nolga intiladi. Aynan shu vaqtda bo‘lib, yopishma tekislik bo‘ladi. Shunday qilib, agar chiqikning P(to) nuqtasida yopishma tekislik mavjud bo‘lsa, u vaqtda va vektorlar unga parallel bo‘lar ekan. Endi chiziqning har bir nuqtasida yopishma tekislik mavjudligini isbotlaymiz. Buning uchun nol vektorni har qanday tekislikka parallel deb hisoblab, P(to) nuqtadan o‘tuvchi va , vektorlarga parallel bo‘lgan tekislikni olamiz. U vaqtda tengliklar o‘rinli bo‘lib, (6) tenglikdan, Q nuqta chiziq bo‘ylab P nuqtaga intilganda bo‘lishi kelib chiqadi. Shunday qilib chiziqning har bir nuqtasida yopishma tekislik mavjud ekan. Agar va vektorlar kollinear bo‘lmasa, u vaqtda chiziqning P(to) nuqtasidan o‘tuvchi yopishma tekislik yagona bo‘ladi. Agar va vektorlar kollinear yoki bo‘lsa, u vaqtda chiziqning P(to) nuqtasidan o‘tuvchi yopishma tekislik cheksiz ko‘p bo‘lib, ular chiziqning shu nuqtasidagi urinmasidan o‘tadi. Teorema to‘la isbot bo‘ldi. Bu teoremadan kelib chiqadiki, chiziqning har bir nuqtasidagi urinmasi, uning shu nuqtasidagi yopishma tekisligida yotadi. Biz bundan keyin chiziqning har bir nuqtasidan faqat bitta yopishma tekislik o‘tadi deb shartlashamiz. Evklid fazosida ikki marta differensiallanuvchi chiziq vektor tenglamasi bilan berilganda, uning P(to) nuqtasidagi yopishma tekisligining tenglamasini tuzaylik. Buning uchun yopishma tekislikda ixtiyoriy N nuqta o lib, uning radius vektorini orqali belgilaymiz. (35–chizma). P(to) nuqtaning radius vektori esa bo‘lib, teoremaga asosan va vektorlar yopishma tekislikka parallel bo‘ladi. Demak, vektorlarni qarasak, ular komplanar vektorlar bo‘lib, aralash ko‘paytmasi nolga teng 35–chizma. bo‘ladi: Bu yerda bo‘lgani uchun (7) formula chiziq yopishma tekisligining vektor tenglamasi bo‘ladi. regulyar chiziq x = x(t), y = y(t), z = z(t) parametrik tenglamalari bilan berilganda, chiziqning P(to) nuqtasidagi yopishma tekislikning tenglamasini topamiz. Bizga ma’lumki chiziq parametrik tenglamalari bilan berilganda bo‘lib, uch vektorning aralash ko‘paytmasi bo‘lgan (7) tenglamani koordinatalar orqali quyidagicha, uchinchi tartibli determinant qilib yozish mumkin: (8) formula parametrik tenglamalari bilan berilgan chiziq yopishma tekisligining tenglamasi bo‘ladi. chiziq oshkormas tenglamalari bilan berilganda, uning P(xo, yo, zo) nuqtasidagi yopishma tekisligining tenglamasini tuzaylik. Buning uchun P(xo, yo, zo) nuqtada bo‘lsin deb shart qo‘yamiz. Bu shart bajarilganda chiziq tenglamasini P(xo, yo, zo) nuqtaning biror atrofida kabi yozish mumkin. Bu yerda x = t almashtirish olsak, chiziqning parametrik tenglamalari hosil bo‘ladi. Endi (8) formuladan foydalanib, chiziqning P(xo, yo, zo) nuqtasidagi yopishma tekisligining tenglamasini yoza olamiz: Bu yerdagi y'(xo), z'(xo), y"(xo), z"(xo) hosilalar chiziqning (9) oshkormas tenglamalaridagi φ va ψ funksiyalarning hosilalari orqali topiladi. (10) formula oshkormas tenglamalari bilan berilgan chiziq yopishma tekisligining tenglamasi bo‘ladi. Misol. x = t cost, y = –t sint, z = a t chiziqning t = 0 nuqtasidagi yopishma tekislik tenglamasini tuzing. Download 146.76 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|
1 2