Al-xorazmiy nomli urganch davlat universititening matematika fakulteti
Download 0.61 Mb. Pdf ko'rish
|
parametrga bogliq integrallar
- Bu sahifa navigatsiya:
- MATEMATIKA FAKULTETI
- Limit funksiya. Tekis yaqinlashish. Limit funksiyaning uzluksizligi.
- 2 Parametrga bog’liq integrallar
- Isbot
|
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
AL-XORAZMIY NOMLI URGANCH DAVLAT UNIVERSITITENING
403-GURUH TALABASI Matyoqubova MohiraNING
MATEMATIK ANALIZ FANIDAN YOZGAN
TOPSHIRDI: Matyoqubova Mohira
QABUL QILDI:
URGANCH 2008-YIL MAVZU: PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLAR. REJA: 1.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING BOSHLANG’ICH TUSHUNCHALARI.
2.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING FUNKSIONAL XOSSALARI.
4. XULOSA.
1. PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALNING BOSHLANG’ICH TUSHUNCHASI.
Bizga ) ,...
( 2 , 1 m x x x f funksiya biror ) (
R M M to’lamda berilgan bo’lsin . Bu funksiyaning bitta k x
) ,..., 2 , 1 (
k o’xgaruvchisidan boshqa barcha o’zgaruvchilarini o’zgarmas deb hisoblasak,u holda ) ,..... , ( 2 1 m x x x f funksiya bitta
o’zgaruvchiga bog’liq bo’gan funksiyaga aylanadi. Uning shu o’zgaruvchi bo’yicha integrali , ravshanki
,...,
, ,...,
, 1 1 2 1 larga bog’liq bo’ladi. Bunday integrallar parametrga bog’liq integrallar tushunchasiga olib keladi. Soddalik uchun ikki o’zgaruvchili f (x,y) funksiyaning bitta o’zgaruvchi bo’yicha integralini o’rganamiz. ) , ( y x F funksiya 2
fazodagi biror
} , : ) , {( 2
E y b x a R y x M
to’plamda berilgan bo’lsin. Y o’zgaruvchining ) (
E E to’plamdan olingan har bir tayinlangan qiymatida ) , ( y x F funksiya x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b] oraliqda integrallanuvchi, ya’ni
) , (
integral mavjud bo’lsin. Ravshanki, bu integral y o’zgaruvchining E to’plamdan olingan qiymatiga bog’liq bo’ladi:
b a dx y x f y Ф ) , ( ) ( (1) Odatda (1) integral parametrga bog’liq integral deb ataladi, y o’zgaruvchi esa parametr deyiladi. Parametrga bog’liq integrallarda, ) ,
y x f funksiyaning funksional xossalariga (limiti, uzluksizligi, diferensiallanuvchiligi, integrallanuvchiligi va hakazo)
ko’ra Ф (y) funksiyaning tegishli funksional xossalari o’rganiladi. Bunday xossalarni o’rganishda ) ,
y x f funksiyaning y o’zgaruvchisi bo’yicha limiti va unga intilishi xarakteri muhim rol o’ynaydi.
) , ( y x F funksiya } ,
) , {( 2 R E y b x a R y x M to’plamda berilgan , 0
esa ) (
E E to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. X o’zgaruvchining [a,b] oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida ) , ( y x f faqat y ninggina funksiyasiga aylanadi. Agar 0
da bu funksiyaning limiti mavjud bo’lsa, ravshanki, y limit x o’zgaruvchining [a,b] oraliqdan olingan qiymatiga bog’liq bo’ladi:
) ( ) , ( ) , ( 0 lim
0 x y x y x f y y 1-Ta’rif: Agar 0
olinganda ham, ] ,
a x uchun shunday 0 ) , ( x topilsaki | 0
| < tengsizlikni qanaotlantiruvchi E y uchun | ) (
, (
y x f | <
bo’lsa, u holda ) (x funksiya ) ,
y x f funksiyaning 0
dagi limit funksiyasi deyiladi. ) , ( y x F funksiya } ],
[ ; ) , {( 2 E y b a x R y x M to’plamda berilgan bo’lib, esa E to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. 2-Ta’rif: Agar 0 olinganda ham ] , [ b a x uchun shunday 0 ) , ( x
topilsaki, | y | >
tengsizlikni qanoatlantiruvchi E y uchun | ) (
, (
y x f | <
bo’lsa, u holda ) (x funksiya ) ,
y x f funksiyaning
dagi limit funksiyasi deyiladi. Misollar: 1. Ushbu y x y x f sin
) , (
funksiyani } , 1 0 : ) , {( 2 R y x R y x D to’plamda qaraylik. 2 y dagi limit funksiya x ekanligini ko’rsatamiz.
Agar 0 ga ko’ra, deb olinsa, unda
| 0
y |=| 2 y | tengsizlikni qanoatlantiruvchi R y va ] 1 , 0 [
uchun | ) ( ) , ( x y x f | | x y x sin | | x || 1 sin
|
x || 2 sin sin
|
=| x || 2 2 cos
2 2 sin 2
y | | 2 y | <
bo’ladi. Demak, y
2 da y x y x f sin
) , ( funksiyaning limit funksiyasi
sin ) , ( ) ( lim lim
2 2
bo’ladi. 3-Ta’rif: M to’plamda berilgan ) ,
y x f funksiyaning 0
dagi limit funksiyasi ) (x bo’lsin. 0
olinganda ham shunday 0 )
topilsaki, | 0
y | tengsizlikni qanoatlantiruvchi E y va ] , [ b a x uchun | ) ( ) , ( x y x f | bo’lsa, ) ,
y x f funksiya o’z limit funksiyasi ) (x ga [a,b] da tekis yaqinlashadi deyiladi. Aks holda yaqinlashish notekis deyiladi. 4-Ta’rif: M to’plamda berilgan ) , ( y x f funksiyaning 0
dagi limit funksiyasi ) (x bo’lsin. 0
0 0
,
0
] ,
a va | 0 1
y | tengsizlikni qanoatlantiruvchi E y 1 topilsaki, ushbu | ) ( ) , ( 0 1 0 x y x f | 0
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda ) , ( y x f funksiya ) (x ga notekis yaqinlashadi deyiladi.
2 Parametrga bog’liq integrallar ) , ( y x f funksiya R R y b a x R y x M ], , [ : ) , {( 2 } to’plamda berilgan bo’lib, o’zgaruvchining E to’plamdan olingan har bir tayin qiymatida
) , ( o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Ya’ni y ni o’zgarmas deb hisoblanganda
) , (
integral mavjud bo’lsin. Ravshanki bu integralning qiymati olingan y ga (parametrga) bog’liq bo’ladi:
a dx y x f y Ф ) , ( ) ( (1) Misol: Ushbu y x y x f sin
) , ( funksiyaning x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b] dagi integrali (bu yerda y=0)
a b a b a y by ay xy xyd y xydx dx y x f cos
cos ) ( sin 1 sin ) , ( bo’lib, } 0
R E to’plamda berilgan ) cos
(cos 1 ) ( by ay y y Ф funksiyadan iboratdir. Ushbu paragrafda parametrga bog’liq (1) integralning ( ) ( y Ф funksiyaning ) funksional xossalarini o’rganamiz. 1. Integral belgisi ostida limitga o’tish. ) , ( y x F funksiya } ],
[ : ) , {( 2 R E y b a x R y x M to’plamda berilgan bo’lib, 0
nuqta E to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. 1-Teorema: f(x,y) funksiya y ning E to’plamdan olingan har bir tayin
f(x,y) funksiya 0
y
) (x limit funksiyaga ega bo’lsa va unga tekis yaqinlashsa, u holda
a b a y y dx x dx y x f ) ( ) , ( lim 0 (2) bo’ladi. Isbot: Shartga ko’ra ) ,
y x f funksiya 0
da ) (x limit funksiyaga ega va unga tekis yaqinlashadi. Demak 0 olinganda ham, shunday 0 ) ( topiladiki, | 0 y y | ni qanoatlantiruvchi E y va ] , [ b a x uchun
| ) ( ) , ( x y x f | a b
bo’ladi. Ikkinchi tomondan ) ,
y x f funksiyaning uzluksizligi to’g’risidagi teoremaga asosan ) (x funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo’ladi. Demak bu funksiyaning integrali
a dx x) ( mavjud. Natijada |
b a b a dx x dx y x f ) ( ) , ( | b a | ) ( ) , ( x y x f |
a dx a b dx bo’lib, undan
a b a y y dx x dx y x f ) ( ) , ( lim 0 ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. (4) munosabatni quyidagicha b a b a y y y y dx y x f dx y x f ] ) , ( [ ) , ( lim lim
0 0
ham yozish mumkin. Bu esa integral belgisi ostida limitga o’tish mumkinligini ko’rsatadi. Misol: Biz ]} 1 , 0 [ ], 1 , 0 [ : ) , {( 2
x R y x M to’plamda berilgan y x y x f sin
) , ( funksiyaning 0
da 0 ) (
limit funksiyaga tekis yaqinlashishini ko’rgan edik: 0 sin lim 0 y x y
Berilgan funksiya y o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida x o’zgaruvchining [0,1] oraliqdagi uzluksiz funksiyasi ekanligi ravshan. Demak (1) teoremaga ko’ra
1 0 1 0 1 0 0 0 0 ] sin [lim
sin ) , ( lim
lim dx y x ydx x dx y x f y y
bo’ladi. 2. Integralning parametr bo’yicha uzluksizligi. 2-Teorema: Agar f (x,y) funksiya ]} , [ ], , [ : ) , {( 2 d c y b a x R y x M
to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda b a dx y x f y Ф ) , ( ) ( funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo’ladi. Isbot: Ihtiyoriy ] ,
0 d c y nuqtani olaylik. Shartga ko’ra ) , ( y x f funksiya M to’plamda (to’g’ri to’rtburchakda) uzluksiz. Kantor teoremasiga ko’ra bu funksiya M to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi. Unda 0
olinganda ham, shunday 0 ) ( topiladiki, )) , ( ), , (( 0 y x y x | 0 y y |
tengsizlikni qanoatlantiruvchi M y x M y x ) , ( , ) , ( 0 uchun | )
( ) , ( 0
x f y x f |
bo’ladi. Bu esa ) , ( y x f funksiyaning 0
da ) , ( 0 y x f limit funksiyag tekis yaqinlashishini bildiradi. U holda (1) teoremaga asosan
a b a b a y y y y y y y Ф dx y x f dx y x f dx y x f y Ф ) ( ) , ( )] , ( [ ) , ( ) ( 0 0 lim lim lim
0 0 0 ]) , [ ( 0 d c y bo’ladi. Demak, ) (Y Ф funksiya 0
nuqtada uzluksiz. Teorema isbot bo’ldi. 3.Intefralni parametr bo’yicha differensiallash.
3-Teorema: ) , ( y x f funksiya ]} ,
], , [ : ) , {( 2
c y b a x R y x M
to’plamda berilgan va y o’zgaruvchining [c,d] oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lsin. Agar ) , ( y x f funksiya M to’plamda ) ,
' y x f y hususiy hosilaga ega bo’lib, y uzluksiz bo’lsa, u holda ) (Y Ф funksiya ham [c,d] oraliqda ) ( ' y Ф hosilaga ega va ushbu
a y dx y x f y Ф ) , ( ) ( ' ' (3) munosabat o’rinlidir. Isbot: Shartga ko’ra ) ,
y x f funksiya x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b] oraliqda uzluksiz. Binobarin b a dx y x f y Ф ) , ( ) ( integral mavjud. Endi ]
[ 0
c y nuqtani olib, unga shunday y orttirma beraylikki, ] , [ 0 d c y y bo’lsin. ) (Y Ф funksiyani 0
nuqtadagi orttirmasini topib, ushbu dx y y x f y y x f y y Ф y y Ф b a ) , ( ) , ( ) ( ) ( 0 0 0 0
tenglikni hosil qilamiz. Lagranj teoremasi ga ko’ra (uni qo’llay olishimiz teorema shartlari bilan ta’minlangan) ) , ( ) , ( ) , ( 0 ' 0 0
y x f y y x f y y x f y bo’ladi, bunda 1 0
Natijada b a b a y y y b a y dx y x f y y x f dx y x f dx y y x f y y Ф y y Ф )] , ( ) , ( [ ) , ( ) , ( ) ( ) ( 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 0 bo’lib, undan esa |
b a y dx y x f y y Ф y y Ф ) , ( ) ( ) ( 0 ' 0 0 | b a | ) , ( ) , ( 0 ' 0 ' y x f y y x f y y | b a y dx y f dx ) ( '
) )( ( ' a b y f y (4) bo’lishini topamiz, bunda ) , ( ) ( ' '
x f y f y y funksiyaning uzluksizlik moduli. Modomiki ) , ( '
x f y funksiya M to’plamda uzluksiz ekan, unda Kantor teoremasiga ko’ra bu funksiya shu to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi. U holda yuqorida keltirilgan teoremaga asosan 0 )
( ' 0 lim
f y y
bo’ladi. (4) munosabotdan dx y x f y y y Ф b a y o y ) , ( ) ( 0 ' 0 lim
bo’lishi kelib chiqadi.Demak, b a y dx y x f y Ф ) , ( ) ( 0 ' 0 '
0 y nuqta [c,d] oraliqda ixtiyoriy. Teorema isbot bo’ldi. (3) munosabatni quyidagicha ham yozish mumkin:
) , ( ) , (
Bu esa differensiallash amalini integral belgisi ostiga o’tkazish mumkinligini ko’rsatadi. 4.Integralni parametr bo’yicha integrallash. ) ,
y x f funksiya ]} ,
], , [ : ) , {( 2
c y b a x R y x M to’plamda berilgan va shu to’plamda uzluksiz bo’lsin.U holda 2-teoremaga ko’ra b a dx y x f y Ф ) , ( ) ( funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo’ladi.Bu funksiya [c,d] oraliq bo’yicha integrali mavjud. Demak, ) ,
y x f funksiya M to’plamda uzluksiz bo’lsa, uholda parametrga bog’liq integralni parametr bo’yicha [c,d] oraliqda integrallash mumkin:
dy dx y x f dy y Ф b a b a d c ] ) , ( [ ) ( Bu tenglikning o’ng tomoni ) ,
y x f funksiyani avval x o’zgaruvchi bo’yicha [a,b] oraliqda integrallab ,so’ng natijani [c,d] oraliqda integrallanadi Ba’zan ) , ( y x f funksiya M to’plamda uzluksiz bo’lgan halda bu fuksiyiyani avval
o’zgaruvchi bo’yicha [c,d] oraliqda integrallab,so’ng hosil
o’zgaruvchining funksiyasini [a,b] oraliqda integrallash qulay bo’ladi natijada ushbu
b a d c d c b a dx y x f dy dx y x f ]) , ( [ , ] ) , ( [
integrallar hosil bo’ladi. 4-Teorema: Agar f(x,y) funksiya ]} ,
], , [ : ) , {( 2
c y b a x R y x M
to’plamda uzluksiz bo’lsa, uholda
c b a d c b a dx dy y x f dy dx y x f ] ) , ( [ ] ) , ( [
bo’ladi. Isbot: ] , [ d c t nuqtani olib, quyidagi
t c b a b a t c dx dy y x f t dy dx y x f t ] ) , ( [ ) ( , ] ) , ( [ ) ( integralni qaraylik. ) (
( t t hosilalarini hisoblaymiz. b a dx y x f y Ф ) , ( ) ( funksiyani [c,d] oraliqda uzluksiz bo’lganligi sababli quyidagicha bo’ladi:
t c t t x f dy y Ф t ) , ( ) ) ( ( ) ( ' ' (5) bo’ladi. ) , ( y x f funksiya M to’plamda uzluksizligidan ) ,
) ) , ( ( ' t x f dy y x f t t c bo’ladi.Demak, dy y x f t c ) , ( funksiyaning ] , [ ], , [ : ) , {( 2
c t b a x R t x M
to’plamdagi t bo’yicha xususiy hosilasi ) , ( t x f ga teng va demak ,uzluksiz.U holda 5-teoremaga muofiq b a b a t c t b a t c t dx t x f dx dy y x f dx dy y x f t ) , ( ] ) , ( [ ) ] ) , ( [ ( ) ( ' ' ' (6) bo’ladi. (5) va (6) munosabatdan
b a dx t x f t t ) , ( ) ( ) ( ' ' bo’lishi kelib chiqadi.Demak, c t t ) ( ) ( (c-cont) Biroq
c t bo’lganda 0 ) ( ) ( c c bo’lib, Undan 0 c bo’lishini topamiz Demak, ) ( ) (
t bo’ladi. Xususan, d t bo’lganda ) ( ) ( d d bo’lib, u teoremani isbotlaydi.
3.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING UMUMIY XOLI. ) , ( y x f funksiya ]} ,
], , [ : ) , {( 2
c y b a x R y x M to’plamda berilgan. y o’zgaruvchining [c,d] oraliqda olingan har bir tayin qimatida ) , ( y x f
funksiya x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.
) ( ), ( y x y x funksiyaning har biri [c,d] da berilgan va ] , [ d c y uchun
b y y a ) ( ) ( (7) bo’lsin. Ravshanki, ushbu )
) ( ) , (
y dx y x f integral mavjud, y o’zgaruvchiga bog’liqdir: ) ( ) ( ) , ( ) (
y dx y x f y F (8) haqiqqtdan ham (7) da ]) ,
( , ) ( , ) ( d c y b y a y bo’lganda (8) integral (1) ko’rinishdagi integralga aylanadi.
) ( ) ( ) , ( ) ( y y dx y x f y F integralning xossalarini o’rganamiz. 5-Teorema. ) , ( y x f funksiya ]} ,
], , [ : ) , {( 2
c y b a x R y x M to’plamda uzluksiz , ) ( ) (
va y funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz va ular (7) shartni qanoatlantirsin. U holda
) ( ) ( ) , ( ) ( y y dx y x f y F funksiya ham [c,d] oraliqda uzluksiz. Isbot. ] , [ 0
c y nuqtani olib unga shunday ) 0 ( y y orttirma beraylikki, ] ,
0 d c y y bo’lsin. U holda
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )] , ( ) , ( [ ) , ( ) , ( ) ( ) ( y y y y y y y y dx y x f y y x f dy y x f dx y y x f y F y y F
) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 ) , ( ) , ( y y y y y y dx y y x f dx y y x f (8) bo’ladi. Bu tenglikning o’ng tomonini qo’shiluvchilarini baholaymiz.
) , ( y x f funksiya M to’plamda uzluksiz , demak, Kantor teoremasiga asosan, tekis uzluksiz bo’ladi. U holda 0 y da
) , ( 0 y y x f funksiya o’z limit funksiya ) ,
0 y x f ga tekis yaqinlashadi .1-teoremaga ko’ra
) ( ) ( 0 0 0 0 0 )] , ( ) , ( [ lim y y y dx y x f dx y y x f 0 )] , ( ) , ( [ ) ( ) ( 0 0 0 0 0 lim
y y dx y x f dx y y x f (9) bo’ladi. (8) munosabatdagi
) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 ) , ( , ) , ( y y y y y y dx y y x f dx y y x f
integrallar uchun quyidagi bahoga egamiz: | ) ( ) ( 0 0 0 0 0 ) ( ) ( | | ) , (
y y y y y M dx y y x f |, | ) ( ) ( | | ) , ( | ) ( ) ( 0 0 0 0 0
y y y y y M dx y y x f , (10) bunda ) ) , (( | ) , ( sup(| M y x y x f M Shartga ko’ra ) (
( y y funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz. Demak, 0 )] ( ) ( [ 0 0 0 lim
y y y y
0 )]
) ( [ 0 0 0 lim y y y y (11) Yuqoridagi (9), (10), (11) munosabatlarni e’tiborga olib, (8) tenglikda 0
y da limitga o’tsak, unda 0 )]
) ( [ 0 0 0 lim y F y y F y
bo’lishi kelib chiqadi. Demak, ) ( y F funksiya ] ,
0 d c y da uzluksiz. Teorema isbot bo’ldi. Download 0.61 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|