Аниқ интегралга келтирилувчи масалалар. Аниқ интегралнинг таърифи ва унинг асосий хоссалари. Ньютон-Лейбниц формуласи. Аниқ интегралда

4 - МАЪРУЗА 

Аниқ интегралга келтирилувчи масалалар. Аниқ 

интегралнинг таърифи ва унинг асосий хоссалари. 

Ньютон-Лейбниц формуласи. Аниқ интегралда 

ўзгарувчини алмаштириш. Бўлаклаб интеграллаш. 

 

• 

Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar. 

• 

Aniq integralning ta’rifi va mavjudlik sharti. 

• 

Aniq integralning xossalari. 

 

4.1. Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar. Bir qator 

matematik, fizik, mexanik va iqtisodiy masalalarni yechish uchun aniq integral 

tushunchasi juda katta ahamiyatga ega. Bu tushunchani kiritishdan oldin unga 

olib keladigan ayrim masalalarni qaraymiz. 

•  Egri  chiziqli  trapetsiya  yuzasini  hisoblash  masalasi.  Turli 

geometrik  shakllarning  yuzalarini  topish  masalasi  matematikaning  eng 

qadimgi  masalalaridan  biri  bo‘lib  hisoblanadi.  Qadimgi  Vavilon  va  Misrda 

ko‘pburchaklarning yuzalarini hisoblay olganlar. Buyuk yunon olimi Arximed 

(miloddan  oldingi  287-212  y.)  parabola  segmentining  yuzasini  hisoblashni 

bilgan.O‘rta Osiyolik yurtdoshlarimiz Beruniy va Al-Xorazmiy doira va doiraviy 

sektor  yuzalarini  topa  olganlar.  Ammo  bu  geometrik  shaklarning  yuzalari 

o‘ziga xos usullarda aniqlangan bo‘lib, ixtiyoriy geometrik shaklning yuzasini 

hisoblashga imkon beradigan umumiy usul ma’lum emas edi. Differensial va 

integral  hisob  yaratilgach  bu  masala  geometrik  shakllarning  nisbatan  keng 

sinfi uchun o‘z yechimini topdi. 

        1-TA’RIF:    Berilgan  у=(х)  uzluksiz    funksiya  grafigi,  х=а  va  х=b 

vertikal to‘g‘ri chiziqlar hamda OX o‘qi bilan chegaralangan geometrik shakl 

egri chiziqli trapetsiya dеb ataladi.  

           Quyidagi  70-rasmda  ko‘rsatilgan  aABb  egri  chiziqli  trapetsiyaning  S 

yuzasini topish masalasini qaraymiz. 

 

          Buning  uchun  dastlab  aABb  egri  chiziqli  trapetsiyaning  asosini 

ifodalovchi [a,b]  kesmani  х

1



 

х

2

 … х

i

  …  х

n–1  

bo‘lgan

 

 ixtiyoriy n–1  ta 

nuqta  yordamida  bo‘laklarga  ajratamiz.  Bu  nuqtalarga  а=х

0     

vа  b=х

n

 

nuqtalarni birlashtirsak,  [a,b]  kesma ular orqali 

[х

0

, х

1

] ,   [х

1

, х

2

] ,   … ,   [х

i-1

, х

i

] ,  …. ,     [х

n-1

, х

n

] 

n ta kichik kesmachalarga bo‘linadi.  

        So‘ngra x

i

 , i=1,2, …, n–1 bo‘linish nuqtalaridan OY o‘qiga parallel to‘g‘ri 

chiziqlar  o‘tqazib,  berilgan  aABb  egri  chiziqli  trapetsiyani  n  ta  kichik  egri 

chiziqli trapetsiyalarga (yuqoridagi 69-rasmga qarang) ajratamiz. Ravshanki 

aABb  egri  chiziqli  trapetsiyaning  S  yuzasi  n  ta  kichik  egri  chiziqli 

trapetsiyalarning yuzalari yig‘indisiga tеng bo‘ladi. Shu sababli, agar asosi  [х

i-

1

, х

i

]  (i=1,2,3,…, n) bo‘lgan egri chiziqli kichik trapetsiyalarning yuzalarini S

i

 

kabi belgilansa, quyidagi tеnglik o‘rinli  bo‘ladi:  

𝑆 = 𝛥𝑆

1

+ 𝛥𝑆

2

+ ⋯ + 𝛥𝑆

𝑖

+ ⋯ + 𝛥𝑆

𝑛

= ∑

𝛥𝑆

𝑖

𝑛

𝑖=1

             (1) 

        Bu yerda S

i

  (i=1,2, ... , n)

 

ham egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari 

bo‘lgani  uchun  ularning  aniq  qiymatlarini  topa  olmaymiz.  Bu  yuzalarning 

taqribiy qiymatini aniqlash uchun  [х

i–1

, х

i

] (i=1,2, ... , n) kesmalarning har 

biridan ixtiyoriy ravishda 

i

 nuqtalarni tanlab olamiz. Tanlangan 

i

 nuqtalarda 

AB  egri  chiziqni  ifodalovchi  y=f(x)>0  funksiyaning  f(

i

)  qiymatlarini 

hisoblaymiz. Endi har bir S

i

  (i=1,2, ... , n) yuzalarni asoslari x

i

=x

i

–x

i–1

 va 

balandliklari  h

i

=  f(

i

)>0  bo‘lgan  to‘g‘ri  to‘rtburchaklarning  yuzalari  bilan 

almashtirib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo‘lamiz: 

S

1 

 f(

1

)x

1

 , S

2 

 f(

2

)x

2

, …, S

i 

 f(

i

)x

i

 , …,  S

n 

 f(

n

)x

n

  . 

     Bu taqribiy tengliklarni (1) yig‘indiga  qo‘yib,   berilgan aABb egri chiziqli 

trapetsiyaning  izlanayotgan  S  yuzasi  uchun  ushbu  taqribiy  tenglikka  ega 

bo‘lamiz: 

                                          



=





n

i

i

i

x

f

S

1

)

(



  .                                              (2) 

          (2)  taqribiy  tenglikning  geometrik  ma’nosi  shundan  iboratki,  biz 

hozircha  hisoblay  olmaydigan  egri  chiziqli  trapetsiyaning  S  yuzasi  to‘g‘ri 

to‘rtburchaklardan  hosil  qilingan  pog‘onasimon  shakl  yuzasi  bilan 

almashtirildi. Bunda bo‘laklar soni n qanchalik katta qilib olinsa, pog‘onasimon 

shaklning  yuzasi  egri  chiziqli  trapetsiyaning  S  yuzasini  shunchalik  darajada 

aniqroq ifodalaydi. Bu mulohazadan izlanayotgan S yuzaning aniq qiymati 

                                         

i

n

i

i

n

x

f

S



=



=



→

1

)

(

lim



                                   (3) 

limit bilan aniqlanishi mumkinligini ko‘ramiz. 

•  O‘zgaruvchi kuch bajargan ishni hisoblash masalasi.   Yo‘nalishi 

va  kattaligi    o‘zgarmas  bo‘lgan  kuch  ta’sirida  moddiy  nuqta  L  to‘g‘ri  chiziq 

bo‘ylab  harakat  qilayotgan  bo‘lsin.  Bunda  kuch  yo‘nalishi  bilan  moddiy 

nuqtaning harakat yo‘nalishi bir xil deb olamiz. Agar bu shartlarda kattaligi f 

bo‘lgan  kuch  ta’sirida  moddiy  nuqta  L  to‘g‘ri  chiziq  bo‘ylab  a  nuqtadan  b 

nuqtaga  ko‘chirilsa,  ya’ni  b–a  masofaga  siljigan  bo‘lsa,  unda  bajarilgan  ish 

A=f∙( b–a) formula bilan aniqlanishi bizga maktab fizika kursidan ma’lum. 

    Endi yuqoridagi shartlardan kuch kattaligi o‘zgarmas degan shartdan voz 

 kechib, u harakatning har bir x nuqtasida biror uzluksiz f(x) funksiya bo‘yicha 

o‘zgarib boradigan umumiyroq holni qaraymiz. Bu holda kuch moddiy nuqtani 

[a,b] kesma bo‘yicha harakatlantirganda  bajarilgan A ishni hisoblash masalasi 

paydo bo‘ladi. Bu masalani yechish uchun moddiy nuqtani bosib o‘tgan yo‘lini 

ifodalovchi [a,b] kesmani oldingi masaladagi singari n ta bo‘laklarga ajratib, 

har bir [х

i–1

, х

i

] (i=1,2, ... , n) kichik kesmada o‘zgaruvchi kuchning bajargan 

ishini  А

i

 deb belgilaymiz. Bu holda  [а, b] kesmada    bajarilgan umumiy A 

ish qiymatini   

                     



=



=



+

+



+



=

n

i

i

n

A

A

A

A

A

1

2

1



                                     (4) 

yig‘indi  ko‘rinishida  ifodalash  mumkin.  Bu  yerda  ham  А

i

  ishning  aniq 

qiymatini hisoblay  olmaymiz.  Ularning  taqribiy  qiymatlarini  hisoblash  uchun  

[х

i-1,

 х

i

] kesmachalarning har biridan ixtiyoriy 

i

 nuqtani tanlab olamiz va unda 

kuchning  f(

i

)  qiymatini  hisoblaymiz.  Uzunligi  x

i

=x

i

–x

i–

1  bo‘lgan  bu  kichik 

kesmada  kuch  kattaligi  o‘zgarmas  va  f(

i

)  deb  hisoblab,  ushbu  taqribiy 

tengliklarni yoza olamiz: 

А

1 

 f(

1

)∙ х

1 

,  А

2 

 f(

2

)∙ х

2 

, …, А

i

  f(

i

)∙ х

i 

, …,  А

n

  f(

n

)∙ х

n

 . 

Bularni    (4)  yig‘indiga  qo‘yib,  izlanayotgan  A  ishning  taqribiy  qiymatini 

topamiz: 

                                            

i

i

n

i

x

f

A







=

)

(

1



 .                                              (5) 

      Bu  yerda  ham  [х

i-1,

  х

i

]  bo‘laklar  soni  n  oshib  borgan  sari  (5)  taqribiy 

tenglik  xatoligi  tobora  kamayib  boradi  deb  kutish  mumkin.  Shu  sababli  A 

ishning aniq qiymati 

                            



=



→



=

n

i

i

i

n

x

f

A

1

)

(

lim



                          (6) 

limit orqali ifodalanadi. 

• Mahsulot hajmini topish masalasi.  Agar ish kuni davomida mehnat 

unumdorligi o‘zgarmas, ya’ni ixtiyoriy t vaqtda uning kattaligi  f  bo‘lsa, unda  

(T

1

,T

2

) vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi V=f∙( T

2 

–T

1

) formula 

bilan hisoblanadi. Masalan, sozlangan avtomatik qurilma uchun bu holni o‘rinli 

deb olish mumkin.  

         Ammo  ishchining mehnat unumdorligi to‘g‘risida bunday deb bo‘lmaydi. 

Masalan,  ish  kunining  boshlang‘ich  davrida  (ishga  ko‘nikish)  uning  mehnat 

unumdorligi  ma’lum  bir  vaqtgacha  o‘sib  boradi.  So‘ngra,  ishga  kirishib 

ketgandan keyin, ma’lum bir vaqt oralig‘ida bir xil unumdorlik bilan mahsulot 

ishlab chiqaradi. Ish kuni oxiriga yaqinlashgan sari, charchash tufayli, mehnat 

unumdorligi pasayib boradi. Shunday qilib mehnat unumdorligi o‘zgaruvchan 

va  t  vaqtga  bog‘liq  ravishda  biror  uzluksiz  f(t)  funksiya  orqali  aniqlangan 

bo‘ladi. Bu holda (T

1

,T

2

) vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi V 

uchun yuqoridagi formula o‘rinli bo‘lmasligi ravshandir va uni topish masalasi 

paydo  bo‘ladi.  Bu  masala  ham  oldingi  masalalardagi  mulohazalar  asosida 

quyidagicha yechiladi. (T

1

,T

2

) vaqt oralig‘ini ixtiyoriy ravishda tanlangan 

T

1

=t

0

< t

1

< t

2

< ∙∙∙ t

i

<∙∙∙ t

n–1

< t

n

=T

2

 

nuqtalar bilan n ta (t

i–1

, t

i

)  (i=1,2,3, ∙∙∙ , n) vaqt oraliqchalariga bo‘laklaymiz. 

Bu  

vaqt oraliqchalarida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini ΔV

i

 (i=1,2,3, ∙∙∙ , n) 

deb belgilasak, unda butun vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi 

            



=



=



+

+



+



=

n

i

i

n

V

V

V

V

V

1

2

1



                          (7) 

yig‘indi  kabi  ifodalanadi.  Bu  yig‘indidagi  qo‘shiluvchilarning  taqribiy 

qiymatlarini topish maqsadida (t

i–1

, t

i

)  (i=1,2,3, ∙∙∙ , n) vaqt oraliqchalaridan 

ixtiyoriy  bir  

i

  vaqtni  tanlab  olamiz  va  unda  f(

i

)  mehnat  unumdorligini 

aniqlaymiz.  Kichkina  (t

i–1

,  t

i

)  oraliqda  uzluksiz  f(t)  funksiya  o‘z  qiymatini 

unchalik ko‘p o‘zgartira olmaydi va shu sababli bu yerda mehnat unumdorligini 

o‘zgarmas va uning qiymati f(

i

) deb olishimiz mumkin. Shu sababli Δt

i

= t

i

– t

i–

1

 vaqt  ichida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi uchun  

ΔV

i

 ≈ f(

i

)∙Δt

i

 ,   i=1,2,3, ∙∙∙ , n, 

taqribiy  tengliklarni  yozish  mumkin.  Bu  taqribiy  tengliklarni  (7)  yig‘indiga 

qo‘yib, 

                                             



=





n

i

i

i

t

f

V

1

)

(



                                      (8) 

taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu holda mahsulot hajmining aniq qiymati 



=



→



=

n

i

i

i

n

t

f

V

1

)

(

lim



                                (9) 

limit orqali topiladi. 

       Yuqoridagi geometrik, fizik va iqtisodiy mazmunli uchta turli masala bir 

xil matematik usulda o‘z yechimini topib, (3), (6) va (9) ko‘rinishdagi bir xil 

limit  orqali  ifodalandi.  Shu  sababli  bu  usul  va  limitni  umumiy  holda  qarash 

ma’noga egadir. 

      4.2.  Aniq  integralning  ta’rifi  va  mavjudlik  sharti.    Berilgan  y=f(x)  

funksiya [а, b] kesmada aniqlangan bo‘lsin. Bu kesmani ixtiyoriy 

a=х

0

<х

1



 

х

2

 … х

i

  … х

n–1

  х

n

 =b 

bo‘linish nuqtalari yordamida n ta  

                            [х

0

, х

1

],  [х

1

, х

2

], …,  [х

i–1

, х

i

], …,  [х

n–1

, х

n

] 

kichik kesmachalarga ajratamiz. Hosil bo‘lgan har bir [х

i–1

, х

i

] (i=1, 2, 3, …, 

n)  kichik  kesmachalardan  ixtiyoriy  bir  

i   

nuqtani  tanlaymiz.    Tanlangan  

i  

nuqtalarda  berilgan f (x)  funksiyaning  f(

i

) (i=1, 2, 3, …, n) qiymatlarini va 

[х

i–1

,  х

i

]  kesmachalarning  х

i

–х

i–1

=х

i

      (i=1,  2,  3,  …,  n)  uzunliklarini 

hisoblaymiz. Bu qiymatlaridan foydalanib ushbu yig‘indini  tuzamiz:  

                                    



=



=

n

i

i

i

n

x

f

f

S

1

)

(

)

(



                                  (10) 

        2-TA’RIF:  (10) tenglik bilan aniqlanadigan S

n

(f) yig‘indi y=f(x) funksiya 

uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi deb ataladi. 

       S

n

( f ) integral yig‘indi ta’rifidan ko‘rinadiki uning qiymati [х

i–1

, х

i

] kichik 

kesmachalar uzunligi х

i

 , ularning soni n va tanlangan 

i

 nuqtalarga bog‘liq 

bo‘ladi. 

i

n

i

n

x



=







1

max

 belgilash kiritamiz.  

      3-TA’RIF:   Agar S

n

( f ) integral yig‘indilar ketma-ketligi n→∞ va  Δ

n

→0 

bo‘lganda  x

i

  bo‘linish  nuqtalari  hamda  [х

i–1

,  х

i

]  kichik  kesmachalardan 

olinadigan  

i

  nuqtalarning  tanlanishiga  bog‘liq  bo‘lmagan  biror  chekli  S(  f  ) 

limitga ega bo‘lsa ,   bu limit qiymati  S( f ) berilgan f(x) funksiyadan [a,b] 

kesma bo‘yicha  olingan aniq integral deyiladi. 

       Berilgan  f(x)  funksiyadan  [a,b]  kesma  bo‘yicha  olingan  aniq  integral 



b

a

dx

x

f

)

(

 kabi belgilanadi va ta’rifga asosan quyidagicha aniqlanadi : 

               





=

→





→

→





→



=

=

=

n

i

i

i

n

n

n

b

a

x

f

f

S

f

S

dx

x

f

n

n

1

0

,

0

,

)

(

lim

)

(

lim

)

(

)

(



 .              (11) 

        Bu yerda а – aniq integralning quyi chegarasi, b – yuqori chegarasi, 

[a,  b]  –integrallash  kesmasi,  x–integrallash  o‘zgaruvchisi,    f(x)  –  integral 

ostidagi funksiya,  f(x)dx – i 

ntegral ostidagi ifoda deyiladi. 

 

4-TA’RIF:  Agar  f(x)  funksiyadan    [a,b]  kesma  bo‘yicha  olingan  aniq 

integral 



b

a

dx

x

f

)

(

  mavjud  bo‘lsa,    unda  f(x)  bu  kesmada  intеgrallanuvchi 

funksiya dеb ataladi. 

         Izoh:  Aniq  integralning  yuqorida  keltirilgan  ta’rifi  olmoniyalik  buyuk 

matematik  Riman  (1826–1866  y.)  tomonidan  taklif  etilgan  va  shu  sababli 

Riman  integrali  deb  yuritiladi.  Bundan  tashqari  aniq  integralning  Koshi, 

mashhur  farang  matematigi  Lebeg  (1875–1941  y.)  va  niderlandiyalik 

matematik  Stilt’yes  (1856–1894  y.)  tomonlaridan  kiritilgan  ta’riflari  ham 

mavjud va keng qo‘llaniladi. 

         Oldin  ko‘rilgan  masalalarga  qaytsak,  (3)  va  (11)  tengliklarga  asosan 

egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi  



=

b

a

dx

x

f

S

)

(

, 

 (6) va (11) tengliklarga asosan o‘zgaruvchi kuch bajargan ish 



=

b

a

dx

x

f

A

)

(

, 

(9) va (11) tengliklarga asosan ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi 

𝑉 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑏

𝑎

 

aniq  integrallar  orqali  ifodalanishi  kelib  chiqadi.  Bu  tengliklarni    aniq 

integralning gеomеtrik, mеxanik va iqtisodiy ma’nolari deb olishimiz mumkin. 

              Aniq  integral  ta’rifidan  ko‘rinadiki,  berilgan  f(x)  funksiya  [a,b] 

kesmada integrallanuvchi bo‘lishi uchun ancha og‘ir shartlarni qanoatlantirishi 

kerak.  Haqiqatan  ham,  qaralayotgan  [a,b]  kesmani  bo‘linish  nuqtalari  x

i

 

(i=1,2,  ∙∙∙,  n)  va  [х

i–1

,  х

i

]  kesmalardan  tanlanadigan  

i

  nuqtalar  qanday 

bo‘lmasin  aniq  integralni  ifodalovchi  (11)  limit  qiymati  S(f)  bir  xil  bo‘lishi 

kerak.  Bu  esa  har  qanday  funksiya  uchun  bajarilavermaydi.  Masalan,  [0,1] 

kesmada  aniqlangan    D(x)  Dirixle  funksiyasi  (VII  bob,  §3)  uchun  integral 

yig‘indini    qaraymiz.  Agar  [х

i–1

,  х

i

]    kesmachalardan  olinadigan  

i

  nuqtalar 

ratsional sonlarni ifodalasa, unda D(

i

)=1 va integral yig‘indi 

1

0

1

1

)

(

)

(

1

1

1

=

−

=



=





=



=







=

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

x

x

x

D

D

S



 ; 

agar 

i

 nuqtalar irratsional sonlarni ifodalasa, unda D(

i

)=0 va integral yig‘indi 

0

0

)

(

)

(

1

1

=





=



=





=

=

n

i

i

n

i

i

i

n

x

x

D

D

S



 

bo‘ladi. Bu yerdan ko‘rinadiki, n→∞ bo‘lganda  S

n

(f) integral yig‘indi limitining 

qiymati 

i

 nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq. Bundan esa D(x) funksiya [0,1] 

kesmada integrallanuvchi emasligi kelib chiqadi. 

 Shu  sababli  (11)  limitni,  ya’ni  ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

  integralni  qaysi  shartda  mavjud 

bo‘lishini  aniqlashimiz  kerak.  Bu  savolga  javob  isbotsiz  beriladigan  ushbu 

teoremalarda keltiriladi. 

      1-TEOREMA:    Berilgan  [a,b]  kesmada  chegaralangan  va  unda  chekli 

sondagi  uzilish  nuqtalariga  ega  bo‘lgan  f(x)  funksiya  shu  kesmada 

integrallanuvchi bo‘ladi. 

        NATIJA:  Berilgan  [a,b]  kesmada  uzluksiz  bo‘lgan  f(x)  funksiya  shu 

kesmada integrallanuvchi bo‘ladi. 

      Haqiqatan  ham,  Veyershtrass  teoremasiga  asosan  (VI  bob,  §4)  [a,b] 

kesmada  uzluksiz  f(x)  funksiya  shu  kesmada  chegaralangan  bo‘lib,  oldingi 

teorema  shartlarini  qanoatlantiradi  va  shu  sababli  bu  kesmada 

integrallanuvchidir.  

         Bu tasdiqlardan funksiyalarning nisbatan keng sinfi uchun ularning aniq 

integrallari mavjud ekanligini ko‘ramiz. Aniq integrallarning qiymatini topish 

(integralni  hisoblash)  masalasini  kelgusiga  qoldirib,  bu  masalani  yechish 

uchun kerak bo‘ladigan aniq integralning xossalari bilan tanishamiz.