Arifmetik va geometrik progressiyalar

ARIFMETIK VA GEOMETRIK PROGRESSIYALAR.

Mavzu: Arifmetik va geometrik progressiya..

Reja:

Tarixiy ma’lumotlar

Arifmetik progressiya

Geometrik progressiya

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tarixiy ma’lumotlar

“Qadimgi xalqlardan qolgan yodgorliklar” asarida Abu Rayhon Beruniy shaxmatning kashf etilishi haqidagi rivoyat bilan bog’liq birinchi hadi b1=1 va q=2 bo’lgan geometrik progressiyaning birinchi 64 ta hadining yig’indisini hisoblaydi;

shahmat taxtasidagi k –katakka mos sondan 1 soni ayrilsa,ayirma k-katakdan oldingi barcha kataklarga mos sonlar yig’indisiga teng bo’lishini ko’rsatadi,ya’ni

qk - 1= 1 + q + q2 + ….. + qn-1

ekanini isbotlaydi.

Darslikdagi 549-553-misollar

549-misol.

• 
  1) a1=10, d=6, n=23 bo’lsa,arifmetik progressiyaning n-hadini va dastlabki n ta hadining yig’indisini hisoblang.
  
• 
  Berilgan: Yechish:
  

a1=10 an=a1+(n-1)d

d=6 an=10+(23-1)×6=10+22×6=142

n=23 Sn=((a1+an) × n)/ 2

-------------- Sn=((10+142) ×23)/ 2=1748

T.k: an=? Javob: an=142, Sn=1748

Sn=?

550-misol.

• 
  Agar a1=2, an=120, n=20 bo’lsa, arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisini toping.
  

Berilgan: Yechish:

a1=2 Sn=((a1+an) × n)/ 2

an=120 Sn=((2+120) ×20)/ 2=1220

n=20

--------------

T.k: Sn=? Javob: Sn=1220

Agar har bir natural son n haqiqiy raqamga mos keladi a n , keyin ular berilgan deyishadi raqamlar ketma-ketligi :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Demak, sonli ketma-ketlik tabiiy argumentning funksiyasidir.
Raqam a 1 chaqirdi ketma-ketlikning birinchi a'zosi , raqam a 2 — ketma-ketlikning ikkinchi a'zosi , raqam a 3 — uchinchi va boshqalar. Raqam a n chaqirdi qatorning n-a'zosi , va natural son n — uning raqami .
Ikki qo'shni a'zodan a n va a n +1 a'zolar ketma-ketligi a n +1 chaqirdi keyingi (munosabatga ko'ra a n ), a a n — oldingi (munosabatga ko'ra a n +1 ).
Ketma-ketlikni belgilash uchun istalgan raqamga ega ketma-ketlik a'zosini topish imkonini beruvchi usulni ko'rsatish kerak.
Ko'pincha ketma-ketlik bilan beriladi n-sonli formulalar , ya'ni ketma-ketlik a'zosini raqami bo'yicha aniqlash imkonini beruvchi formula.
Misol uchun,
musbat toq sonlar ketma-ketligi formula bilan berilishi mumkin
a n= 2n- 1,
va almashinish ketma-ketligi 1 va -1 - formula
b n = (-1)n +1 . ◄
Ketma-ketlikni aniqlash mumkin takrorlanuvchi formula, ya’ni ketma-ketlikning istalgan a’zosini ba’zilaridan boshlab oldingi (bir yoki bir nechta) a’zolar orqali ifodalovchi formula.
Misol uchun,
agar a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Agar a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , keyin raqamli ketma-ketlikning dastlabki etti a'zosi quyidagicha o'rnatiladi:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Ketma-ket bo'lishi mumkin final va cheksiz .
Ketma-ket deyiladi yakuniy agar u cheklangan miqdordagi a'zolarga ega bo'lsa. Ketma-ket deyiladi cheksiz agar u cheksiz ko'p a'zolarga ega bo'lsa.
Misol uchun,
ikki raqamli ketma-ketlik natural sonlar:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Bosh sonlar ketma-ketligi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
cheksiz. ◄
Ketma-ket deyiladi ortib boradi , agar uning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, oldingisidan kattaroq bo'lsa.
Ketma-ket deyiladi susayish , agar uning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, avvalgisidan kamroq bo'lsa.
Misol uchun,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ortib boruvchi ketma-ketlikdir;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . tushuvchi ketma-ketlikdir. ◄
Elementlari soni ortganda kamaymaydigan yoki aksincha kopaymaydigan ketma-ketlik deyiladi monoton ketma-ketlik .
Monotonik ketma-ketliklar, xususan, ketma-ketliklarning ortib borayotgan va kamayuvchi ketma-ketliklardir.