Arithmetics various set of numbers

3 

 

ARITHMETICS 

 

VARIOUS SET OF NUMBERS 



 

1,2,3,4,… are natural numbers (used for counting) 

 



 

0,1,2,3,4,… are whole numbers 

 



 

…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,… are integers 

 



 

2,3,5,7,11,13,17,19,23,…  are  prime  numbers  (divisible  by  1  and 

itself) 

 



 

4,6,8,9,10,12,14,…are  composite  numbers  (divisible  by  a  number 

other than 1 and itself) 

HIGHEST COMMON DIVISOR (HCD) 

HCD of the numbers will be the product of common prime factors in 

smallest powers. 

LOWEST COMMON MULTIPLE (LCM) 

 

LCM of the numbers will be the product of common prime factors in 

largest powers. 

Example. Find HCD and LCM of numbers 270, 300, 315. 

5

3

2

270

3







 

    

2

2

5

3

2

300







         

7

5

3

315

2







 

HCD=

5

3



 

 

LCM=

18900

7

5

3

2

2

3

2









 

If 

k

n

k

n

n

n

a

a

a

a

a











...

3

2

1

3

2

1

, then 



  Number of divisors:  

                    

)

1

(

...

)

1

(

)

1

(

2

1













k

n

n

n

 

4 

 



  Sum of divisors: 

                        

1

1

....

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1



























k

n

k

n

n

a

a

a

a

a

a

S

k

 

ALGEBRA 

 

Residual division 

)

0

(

,

p

r

r

q

p

a











 

Here  a  is divisible,  p  is divider,  q  is private, 

r

 is residue. 

Fractions 

 

 Summation and difference of fractions 

with the same denominators   

b

c

a

b

c

b

a







. 

with the different denominators           

bd

bc

ad

d

c

b

a







.

 

Multiplication 

d

b

c

a

d

c

b

a









. 

Division 

c

b

d

a

c

d

b

a

d

c

b

a











:

. 

Comparison 

If 

c

b

d

a







 , then 

d

c

b

a



. 

If 

c

b

d

a







 , then 

d

c

b

a



. 

5 

 

Converting mixed fraction into improper fraction 

b

c

b

a

b

c

a







.

 

For instance: 

3

17

3

2

3

5

3

2

5









.

 

Proportions 

If 

d

c

b

a

:

:



, then the followings are true: 

1)

c

b

d

a







;      2) 

qd

pc

nd

mc

qb

pa

nb

ma











; 

3) 

d

b

d

c

b

a







;       4) 

b

a

d

b

c

a







; 

5) Separation of  a  into direct proportional 

k

n

m

:

:

 parts: 

;

;

;

k

k

n

m

a

n

k

n

m

a

m

k

n

m

a



















 

and into inverse proportional parts:  

;

1

1

1

1

;

1

1

1

1

;

1

1

1

1

k

k

n

m

a

n

k

n

m

a

m

k

n

m

a



















 

If 

n

n

b

a

b

a

b

a







...

2

2

1

1

  , then: 

1)  

1

1

2

1

2

1

...

...

b

a

b

b

b

a

a

a

n

n















;   

2)  

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

...

...

b

a

m

b

m

b

m

b

m

a

m

a

m

a

n

n

n

n















. 

Here 

n

m

m

m

q

p

n

m

,...

,

,

,

,

,

2

1

 are real numbers. 

6 

 

Periodic fractions 

Infinite  decimal  fraction,  which,  starting  from  a  certain  category, 

form a sequence by assigning the right one and the same number is called 

periodic and recurring number - its period. 

Purely periodic fraction 

If  repetition  begins  with  the  first  digit  after  the  decimal  point,  then 

this  fraction  is  called  purely  periodic.  For  example:  0,(3);  1,(21); 

15,(06),… 

Handling  purely  periodic  fractions  into  simple:  Period  of  purely  periodic 

fraction  take  as  the  numerator  and  as  the  denominator  write  digit  9  as 

many times as numbers in the period. Example: 





999

124

2

124

,

2



 

Mixed periodic fractions 

 

Periodic fraction in which the repetition does not begin immediately 

after  the  decimal  point,  called  mixed  periodic.  For  instance:  0,1(3); 

2,01(43). 

Handling  mixed  periodic  decimal  into  simple:  To  turn  a  mixed 

periodic  fraction  into  a  simple  it  is  sufficient  to  take  the  difference  of 

number of standing up to the second period with the number, prior to the 

first period, and take as numerator, and in the denominator write digit 9 as 

many times as number of digits in a period, with as many zeros as numbers 

between the comma and the period. 

For instance: 

99000

2015

2

99000

020

02035

2

)

35

(

020

,

2







. 

Average means 

If 

n

x

x

x

,...,

,

2

1

 are given numbers, then the followings are true:  

1) 

The arithmetic mean: 

n

x

x

x

A

n









...

2

1

; 

2) 

The geometric mean: 

n

n

x

x

x

G









...

2

1

; 

7 

 

3) 

The harmonic mean: 

n

x

x

x

n

H

1

1

1

...

2

1









; 

4) 

The mean square: 

n

x

x

x

K

n

2

2

2

2

1

...









; 

5) 

Weighted average: 

n

n

n

a

a

a

x

a

x

a

x

a

V















...

...

2

1

2

2

1

1

. 

Cauchy theorem: 

A

G

H





. 

Percentage 



  Finding р percent of a number а 

 

 

 

%

100



a

 

%

p

x



        ,    

100

p

a

x





 



  Finding number а by the given percentage р  

%

p

a



 

%

100



x

     ,    

p

a

x

100





 



  The percentage of numbers а and b 

%

100



b

a

 



  Compound interest: 

n

p

a











 

100

1

,  

a

 is sum, 

p

 is percent, 

n

 is time. 

Properties of powers 

 

8 

 

1) 

q

p

q

p

a

a

a







;   2) 

q

p

q

p

a

a

a





:

;     

3) 

 

q

p

q

p

a

a





;      4) 





p

p

p

b

a

b

a







;    

5) 

p

p

p

b

a

b

a















. Здесь 

0

,

0





b

a

. 

Properties of radicals 

 



















N

k

k

n

a

N

k

n

a

a

n

n

    

,

1

2

    

,

k

    

,

2

    

,

 

1) 

m

n

m

n

a

a



; 

2) 

m

n

mp

np

a

a



;  

3) 

p

n

a

a

a

n

p

n

p

n







,

; 

4) 

mn

m n

a

a



; 

 

5) 

mnp

p

np

m

n

p

c

b

a

c

b

a



; 

6) 

1

...





n

n

n

n

a

a

a

a

;  

 

7) 

n

n

a

a

a

a

2

1

2

...





;              

   

8) 

1

...

:

:





n

n

n

n

a

a

a

a

;   

9) 

2

4

1

1

...

a

a

a

a













. 

Formula for compound radical 

 

9 

 

B

A

m

m

A

m

A

B

A















2

     

;

2

2

. 

For instance:  









1

17

2

1

8

9

8

9

2

1

2

17

81

9

2

17

81

9

17

9





























 

Abridged multiplication formulas  

1) 





2

2

2

2

b

ab

a

b

a









; 

2) 





2

2

2

2

b

ab

a

b

a









 

3) 







b

a

b

a

b

a









2

2

; 

4) 





3

2

2

3

3

3

3

b

ab

b

a

a

b

a











; 

5) 





3

2

2

3

3

3

3

b

ab

b

a

a

b

a











 

6) 









2

2

3

3

b

ab

a

b

a

b

a











; 

7) 









2

2

3

3

b

ab

a

b

a

b

a











; 

8) 











2

2

4

4

b

a

b

a

b

a

b

a











. 

Equations 

Linear equation 

General form:   

0





b

ax

 

1) 

a

b

x

R

b

a











,

0

 is unique solution; 

2) 











x

b

a

0

,

0

 no solution; 

3) 

R

x

b

a









0

,

0

 infinitely many solutions. 

Quadratic equation 

General form:  

0

2







c

bx

ax

, 

0



a

. 



 

0

4

2







ac

b

D

 has two different roots. 



 

0

4

2







ac

b

D

 has two similar roots. 



 

0

4

2







ac

b

D

 has not any real roots. 

10 

 



  Factorization: 

)

)(

(

2

1

2

x

x

x

x

a

c

bx

ax











, where 

2

1

, x

x

 are roots 

of the equation. 



  Expansion in complete square: 

a

ac

b

a

b

x

a

c

bx

ax

4

4

2

2

2

2















 







. 



  Formula for finding roots: 

a

ac

b

b

x

2

4

2

2

,

1









.