Бозе – Эйнштейн статистикаси

Бозе – Эйнштейн статистикаси


Reja:


1. Ферми-Дирак статистикаси
2. Классик статистика – квант статистиканинг хусусий ҳоли. 3.Айниш температураси
4. Ҳолатлар зичлиги
Бозе – Эйнштейн статистикаси

Бозонларнинг бир зарравий ҳолатлардаги тақсимот қонунини кўрайлик. Бу ҳолда, Статистик йиғинди

₍₃₀₎
бозонлар учун шарт бажарилиши зарур. Акс ҳолда фунция ва да чегараланмаган ва демак физик маънога эга бўлмаган функцияга айланади. бўлганда (30) ифода камаювчи геометрик прогрессиядан иборатдир. Унинг йиғиндиси
₍₃₁₎
ифода билан аниқланади.
Статистик йиғинди (31) нинг ифодасидан фойдаланиб, учун (29) асосида қуйидагича ифодани оламиз.
₍₃₂₎
Ҳолатлар бўйича зарралар ўртача сонларни аниқлайдиган (32) ифодани Бозе- Эйнштейн ёки Бозе тақсимоти – статистикаси дейилади.
Бозонларнинг умумий сони N ва ихтиёрий ҳолатдаги ўртача сони ўзларининг маъноларига кўра мусбат катталиклар ва бўлади. Шунинг учун (32) дан ёки умуман келиб чиқади. Бундан, эканлигини назарда тутсак, келиб чиқади.
Œзгарувчи сонли бозонлар (зарралар), хусусан фотонлар, фононлар учун химик потенциал . Умуман бозонлар учун химик потенциал
₍₃₃₎
шартга бўйсунади.
Бозонлар учун бўлганда, Бозе тақсимот бўлади, бўлганда эса (қ.1.5-расм).

₍₃₄₎
ифода олинади.
Умумий ҳолда химик потенциал ни зарраларнинг умумий сони ифодаси
₍₃₅₎
асосида аниқланади. Агар энергия қийматлари узлуксиз ўзгаради деб қаралса,
₍₃₆₎

ифодадан аниқланади. Бунда бирлик энергия интервалига тўғри келган ҳолатлар сони-ҳолатлар зичлигидир.

Ферми-Дирак статистикаси

Фермионларнинг бир зарравий ҳолатлардаги тақсимотида бўлганлиги учун, бу ҳолдаги статистик йиғинди ифодаси

₍₃₇₎
кўринишда бўлади.
Бир зарравий ҳолатдаги фермионларнинг ўртача сони учун (29) дан фойдаланиб оламиз.
₍₃₈₎
Фермионлар ўртача сонининг бир зарравий ҳолатлар бўйича тақсимоти (38) ни Ферми – Дирак ёки Ферми тақсимоти – статистикаси дейилади. қулайлик учун Ферми – Дирак ва Бозе – Эйншейн тақсимотларини
₍₃₉₎
кўринишда ёзилади. Бунда мусбат ишорали ифода Ферми – Дирак, манфий ишорали ифода Бозе – Эйнштейн тақсимотларига тегишли.
Ферми система температураси да бўлган ҳамма бир зарравий ҳолатлар (энергетик сатҳлар) зарралар билан тўлган бўлади; сатҳлар эса ҳаммаси бўш бўлади. (қ.1.6-расм).
Температура нолдан фарқли бўлганда тақсимот функция пунктир чизиқ билан кўрсатилган (қ.1.6-расм).
Фермионларнинг химик потенциали ни Ферми сатҳи ёки Ферми потенциали дейилади, баъзан уни Ферми энергияси дейилади.
Шуни таъкидлаймизки, бўлгандаги Ферми тақсимотининг даги тақсимотдан фарқи, асосан Ферми сатҳининг атрофида, интервалда бўлади. Бошқача айтганда, да энергияли фермионлар асосан Ферми сатҳи яқинида бўладилар (қ.1.6-расм), яъни улар Ферми сатҳи яқинидаги сатҳлардан “буғланиб” Ферми сатҳи юқорисидаги бўш сатҳларга ўтадилар.
Ферми потенциалини (энергияси ни) зарраларнинг умумий сони ифодасидан, яъни қуйидаги ифодадан
(40)
аниқланади. Агар энергиянинг қийматлари узлуксиз ўзгаради, деб қаралса, (40) нинг ўрнига қуйидаги ифода
(41)

олинади; бу (41) ифодадан аниқланади.
Бунда _g(e) бирлик энергия интервалига тўғри келган ҳолатлар сони – ҳолатлар зичлигидир.