Бозе – Эйнштейн статистикаси

Тарихий маълумот. Бозе – Эйнштейн статистикаси 1924 йилда ҳинд физиги Ш. Бозе томонидан фотонларн тавсифлаш учун кашф этилган. Шу йили А. Эйнштейн идеал газларни тавсифлаш учун ҳам қўллаган.
1926 йилда италиялик олим Э. Ферми фермионларни тавсифлаш учун Ферми-Дирак статистикасини кашф этади, шу йили инглиз олими П. Дирак бу статистиканинг квант хоссасини тушунтирди. 1940 йилда швецарияли олим В. Паули статистика турлари зарраларнинг спинларига боғлиқ эканлигини кўрсатди.

Классик статистика – квант статистиканинг хусусий ҳоли. Айниш температураси

Бозе ва Ферми тақсимотларини ёзайлик:

₍₄₂₎
бу тақсимотларда
₍₄₃₎
шарт бажарилса, махраждаги 1 ни эътиборга олмасдан тақрибан ёзиш мумкин:
(44)
бунда – зарранинг тўла энергияси.
Демак, (43) шарт бажарилганда квант статистикалари Максвелл – Больцман тақсимотига, классик статистикага ўтади.
Классик ва квант статистикаларни умумий кўринишда қуйидагича ёзиш мумкин:
₍₄₅₎
Бунда

Квант статистикадан классик статистикага ўтишдаги (43) шартни классик идеал газ мисолида кўрайлик.
(44) ни энергия сатҳлари бўйича йиғиштирайлик
(46)
Бизга маълум

(47)
узлуксиз ҳол учун эса
₍₄₈₎
Бу (47) ва (48) ифодалардан фойдаланиб, (46) ни ўзгартириб ёзамиз

ёки
(49)
Демак, (43) га биноан
₍₅₀₎
ёки
₍₅₁₎
шарт бажарилганда квант статистикаси классик статистикага ўтади. (48) ёки (49) дан кўринадики, бу шарт зичлик , температура ва зарра (молекула, атом) массаси m га боғлиқ, яъни система етарли даражада сийрак ва юқори температурада бўлса, квант статистиканинг ўрнига классик статистикадан фойдаланиш мумкин, аммо (50) бажарилмаса, яъни
₍₅₂₎
ёки
₍₅₃₎
бўлса, система хоссаларини тавсифлаш учун квант статистикадан фойдаланиш зарур.
(49) тенглик асосида ни бир неча мисолларда баҳолайлик; бунда эрг /град эрг сек.
А) Водород атомлари системаси учун ни баҳолаймиз; водород атом массаси г. Бу ҳолда



Агар зичлик бўлса, (бу зичлик атм. га тўғри келади). Бу ҳолда

Агар бўлса,
бўлади.
Демак, даги водород атомлари системаси учун

Хатто шундай паст температурада ҳам водород атомлари системасини классик статистикаси аосида қараш мумкин экан. Бундай, умуман атомлар, молекулаларни классик статистика аосида қараш, тадқиқ қилиш мумкин. Ниҳоятда паст температура бундай истисно!
б) Электрон учун

ифодани оламиз. -бу металлардаги эркин электронлар зичлигига тахминан тенг. Бу ҳолда

Бундан бўлганда ҳам, бўлади, яъни



бўлади.
Демак, металлардаги электронларни квант статистика асосида қараш керак. Ярим ўтказгичларда эркин электронлар зичлиги

тартибда бўлади. Агар температура бўлса,

тенгсизлик ўринли бўлади. Демак, ярим ўтказгичлардаги электронларни (шунингдек ковакларни) тавсифлашда квазиклассик статистикани қўллаш ўринли бўлади.
(52) ифодан температура T ни топайлик
₍₅₄₎
бунда
Бу температура ни айниш температураси дейилади.
(54) ифодада ячейкалар (ҳолатлар) сони сатҳлар сонига тенг деб қабул қилинган. Аммо паст температураларда квант механик хоссалар намоён бўла бошлайди. Шу туфайли зарраларнинг айнанлик принципини эътиборга олиш натижасида ҳолатнинг айниш каррасини ҳисобга олиш лозим. Бошқача айтганда, ҳолатлар сонига мослаштирилган N нинг ўрнига сатҳлар сонини олиш учун, (54) ифодада N нинг ўрнига N/g ни ёзиш лозим.
У ҳолда айниш температураси
₍₅₅₎
ифода билан аниқланади, бунда классик идеал зарралар учун. Бозе ва Ферми тақсимотлари асосида квант идеал зарралар учун аниқ ҳисоблаш кўрсатадики,

учун спинлар (ориентацияларини) вазиятларини эътиборга олингандаги фактор (омил).
Мисол учун металлардаги электронлар учун Т^*~ _. Айниш температурасидан пастда газ зарраларининг (молекулалар, атомларнинг) айнанлик принципини намоён бўла бошлайди. Бозе-газ учун айниш температурасидан паст температурада Бозе-Эйнштейн конденсацияси ҳодисаси содир бўла бошлайди.
Ферми-газ учун айниш температураси Бозе-газ каби фазавий ўтишлар билан боғланган эмас, бу температура Ферми энергияси билан аниқланади (масалан, билан айниш температураси аниқланади). Электронлар системаси учун тартибда.
Температуранинг бу қийматларида айнанлик принципи намоён бўлганлиги учун, газнинг хоссалари классик газ хоссасидан фарқли бўлади. Шу сабабли, масалан, иссиқлик сиғим, босимнинг температурага боғлиқлиги классик газдагидан фарқли бўлади.
Температура пасайиши билан, агар зарралар орасидаги ўртача масофа зарранинг де Бройль тўлқин узунлигини дан кичик бўла бошласа, яъни бўлган ҳолда айнанлик принципи кучлироқ (муҳимроқ) намоён бўла боради. Бу ерда шуни таъкидлаймизки, реал газ ва суюқликлардан фақат гелий атомлари учун шарт бажарилади. Қолган атомлар системаси айниш температураси га қадар, яъни улардаги квант хоссалари намоён бўлгунга қадар қаттиқ агрегат ҳолатларига ўтиб улгурадилар. Гелий суюқлик учун эса бир томондан атом массаси кичик, иккинчи томондан гелий суюқликнинг масса зичлиги етарли даражада катта.
Гелий газ да гелий суюқликка айланади; температурани янада пасайтирилса, да гелий I суюқликдан гелий II суюқликка ўтади, яъни бу температурада фазавий ўтиш юз (содир) бўлади (1.7-расм). Квант ҳолатдаги гелий II суюқлик ўта ўтказувчанлик хоссасига эга бўлади, у ёпишқоқликка эга бўлмайди, яъни унинг ёпишқоқлик коэффициенти нолга тенг бўлади. температурада иссиқлик сиғим С нинг ўзгариши кўринишда бўлади.