Численное моделирование волновых процессов в двухтемпературной плазме Ж. А. Нуруллаев

Численное моделирование волновых процессов в двухтемпературной плазме


Ж.А. Нуруллаев
Каракалпакский государственный университет им. Бердаха, г. Нукус, Узбекистан,
Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, г. Ташкент, Узбекистан, [e-mail]

1. Постановка задачи. Уравнение описывающие низкочастотные электронные магнито-звуковые волны, имеет вид [1]: (1).
Уравнение описывающие низкочастотные ионные магнито-звуковые волны, имеет вид (2).
Здесь 1 – электрические поля электронов, 2 – электрические поля ионов, 3 – псевдо лапласиан, 4 – квадрат электронного дебаевского радиуса, 5 – квадрат ионного дебаевского радиуса, 6 – альфвеновская скорость для электронов, 7 –альфвеновская скорость для ионов, 8 – ларморовы частоты электронов и ионов (9 и 10 их масса соответственно), 11 – скорость света в вакууме, 12 – отношение зарядов иона и электрона, 13 – внешнее постоянное магнитное поле, 14 – невозмущенная плотность частиц, 16 – абсолютная величина заряда электрона, 17 – температура электронов, 18 – температура ионов.
Начальные условия для (1) и (2) соответственно (3).
Кроме того, к вышеуказанным уравнениям добавляются некоторые граничные условия.
Существование и единственность решений таких задач рассмотрена в работах [1-3].
Уравнений (1), (2) записываем в следующем общем виде: (4).
где 19, зависящие от дебаевского радиуса или от альфвеновской скорости, 20 – частота Ленгмюра, 21 – правые части (1), (2) соответственно.
Уравнение (4) дополним следующими начальными и краевыми условиями: (5).
Сформулируем обобщенную постановку задачи (4), (5). Назовем обобщенным решением задачи функцию 22, которая при каждом 23 принадлежит 24, обладает производной 25 и почти всюду для всех 26 удовлетворяет соотношениям: (6), (7).
Здесь 26.
27 – функция абстрактного аргумента 28 со значениями в 29. Обозначим 30 –норму в 31. Очевидно, что, 32, где 33 – положительные постоянные, зависящие от 34.
2. Аппроксимация по пространству и времени. Построим подпространство 35, аппроксимирующее 36. Введем сетку 37, где 38. В этом случае 39 – пространство сеточных функций 40 с нормой 41, где постоянная 42 не зависит от 43.
Аппроксимируя на сетке выражения для 44 соответствующими квадратурными формулами 45, приходим из (1.5.4) к определению приближенного сеточного решения: (8).
Определению (8) соответствует следующая задача Коши для функции 46: (9). где (10).
Тут 46.
При этом (11).
Здесь 47, 48 – оператор проектирования 49 и 50.
Разностные операторы 51 приближают дифференциальные 52 и 53 со вторым порядком погрешности аппроксимации.
Рассмотрим теперь дискретизацию задачи Коши (9) по временной переменной. Для этого рассмотрим схему Москалькова-Утебаева [4]: (12).
Здесь 54.
Параметры 55 подчиняются условию четвертого порядка аппроксимации схемы (10): (13).
Далее для определенности, выберем 56.
3. Устойчивость и сходимость.
Теорема 1. Пусть 57 и выполнены условия (14).
Тогда, решение 58 схемы (12) сходится к решению задачи (9) 59 и имеет место оценка: 60.
Доказательство основано на сведении двухслойной векторной схемы (12) к трехслойной отдельно для решения 61 и его производной 62. Условие (14) для значений параметров 63, которым соответствует 64, приводит к такому ограничению шага по времени: (15).
Для оценки точности схем (12) необходимо еще дать оценку погрешности 65. Используя методику такой оценки в теории разностных схем [5] сформулируем окончательный результат.
Теорема 2. Пусть выполнено условие устойчивости (15). Тогда, решение схемы (12) сходится к достаточно гладкому решению задачи (4), (5) и справедлива оценка точности: 66.

4. 
   Тестовые расчеты. Для проверки теоретических результатов рассмотрим следующую начально-краевую задачу: (16), (17), (18).
   

Здесь 67 – электрические поля электронов, 68 – положительные постоянные, зависящие от дебаевского радиуса или от альфвеновской скорости в случае уравнения (1), 69 – альфеновская скорость для электронов и 70 – электрические поля ионов, 71 – положительные постоянные, зависящие от дебаевского радиуса или от альфвеновской скорости в случае уравнения (2), 72 – альфеновская скорость для ионов, 73 – частота Ленгмюра, 74, а 75.
Перейдем к описанию численных результатов. Выберем параметры задачи (16)-(18) в виде: 76.
Рассмотрим одномерный случай. В одномерном случае при точном решений 77, задача (16)-(18) принимает вид: 78.
Порядок скорости сходимости по пространственной 79 и временной 80 переменным определяется по следующим формулам: 81, где 82 . В таблица1 и таблица 2 приведены значения порядка скорости сходимости приближенного решения к точному при выполнении условия устойчивости (15).
Из результатов расчетов видно, что рассматриваемая разностная схема имеет второй порядок аппроксимации по пространственной переменной и четвертый порядок точности по временной переменной.
Таким образом, проведенные тестовые расчеты согласуются с теоретическими выводами.
Литература

1. 
   Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 736 с.
   
2. 
   Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. – М.: Наука, 1990. – 344 С.
   
3. 
   Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. – М.: Наука, 1998. – 448 с.
   
4. 
   Moskalkov MN, Utebaev D. Numerical modeling of nonstationary processes in continuum mechanics. - Tashkent: Fan va technology, 2012 . – 176 p.
   

4. 
   Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 c.