Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning taxminiy usullari Oddiy iteratsiya usuli

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

Telekommunikatsiya
FAKULTETI 2– BOSQICH 417-20-GURUH TALABASI Sattorov Ulugʻbek

ALGORITMLARNI LOYXALASH FANIDAN TAYYORLAGAN


Mustaqil ishi


BAJARDI: Sattorov Ulugʻbek
TEKSHIRDI:________________________

TOSHKENT 2022
Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning taxminiy usullari

Oddiy iteratsiya usuli

Aytaylik, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi mavjud:

.
Bu sistemani aniq usul bilan yechishda darhol ildiz olinadi ( 44-rasmda x _aniq , y _aniq ). Ildiz asl tizimga almashtirilsa, o'ziga xoslik olinadi.
Taxminiy usullarga tizimlarni yechishning iterativ usullari kiradi. Tizimni taxminiy usul bilan yechishda ildiz bosqichma-bosqich, ketma-ket harakatlarni (iteratsiyalarni) takrorlash orqali olinadi.
Takrorlanuvchi jarayon - oldingi bosqichda kerakli qiymatni uning qiymatidan hisoblashning takrorlanuvchi jarayoni.
Birinchidan, dastlabki yaqinlashish ( x ₀ , y ₀ ) o'rnatiladi, so'ngra yechimning keyingi yaqinlashuv nuqtasi ( x ₁ , y ₁ ) shu qiymatlar orqali, u orqali ( x ₂ , y ₂ ) va hokazo. Qachon hosil bo'lgan ildizni ( x *, y *) asl tizimga almashtirib, taxminan tenglikni oling.
Shakl . 44. Taxminiy yechim
Chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun iterativ jarayonlarni qurish uchun ikkinchisini normal shaklga keltirish kerak.
Ko'rinish  kanonik ko'rinish, ko'rinish  normal ko'rinish deb ataladi.
Agar biz vektorning istalgan qiymatini normal shaklda yozilgan tizimning o'ng tomoniga almashtirsak, u holda L  matritsalarining ma'lum qiymatlari bilan biz yangi qiymatni hisoblashimiz mumkin , uni yana tizimning o'ng tomoniga almashtiramiz va hokazo. .
Olingan  , , vektorlar ketma- ketligi iterativ ketma-ketlik  deyiladi .
Agar ketma-ketlik yaqinlashsa, ya'ni chegaraga ega bo'lsa, u holda bu chegara dastlabki tenglamalar tizimining yechimi bo'ladi.
Chiziqli tenglamalar tizimining ildizlarini taxminiy hisoblashni tashkil qilish uchun siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

1. 
   tizimni normal holatga keltiring;
   
2. 
   tizimning normal shaklga tushirilgan koeffitsientlari bo'yicha ketma-ketlikning yaqinlashish shartini aniqlash ;
   
3. 
   iterativ jarayonni qurish;
   
4. 
   yechimning berilgan aniqlik darajasiga erishishni aniqlang, chunki aniq yechimni cheksiz takrorlanuvchi jarayon bilan olish mumkin.
   

3-tartibli chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:
(43)
Tizimning normal ko'rinishi (43):
(44)
(43) sistemani (44) ko'rinishga keltirishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Ular orasida har doim iterativ ketma-ketlikning  , , mos keladigan chegaraga yaqinlashish shartini qanoatlantiradigan biri bo'ladi.
Muayyan misol yordamida  _ij va  _i ni hisoblashning mumkin bo'lgan variantlarini ko'rib chiqing :
(45)
Variant 1. Biz (45) tizimni quyidagi shaklda taqdim etamiz:

yoki

qayerda

Variant 2. Tizimni normal ko'rinishga keltirish uchun birinchi tenglamaning chap tomonining barcha a'zolari, ₁₁ ni o'z ichiga olgan termindan tashqari, o'ng tomonga o'tkaziladi va tenglamani ₁₁ ga bo'linadi . _{Ikkinchi tenglama uchun, shuningdek, 22} ni o'z ichiga olgan atama bundan mustasno, chap tomondagi barcha shartlarni o'ng tomonga o'tkazamiz va tenglamani ₂₂ ga bo'lamiz . Uchinchi tenglama uchun chap tomonning barcha a'zolarini o'ng tomonga o'tkazamiz, ₃₃ ni o'z ichiga olgan atama bundan mustasno va tenglamani ₃₃ ga bo'lamiz . Olingan tizim quyidagicha ko'rinadi:
(46)
qayerda

Ketma-ketlikning  chegaraga yaqinlashishi sharti quyidagi talabning bajarilishi hisoblanadi:
Barcha uchun
yoki (47)
Barcha uchun
ya'ni satr yoki ustunlardagi oddiy tenglamalar tizimining koeffitsientlari modullarining yig'indisi 1 dan kichik bo'lishi kerak.
Takrorlanuvchi protsedurani qurish uchun x ₁ ⁽⁰⁾ , x ₂ ⁽⁰⁾ ,  boshlang'ich qiymatini tanlash kerak . Ushbu qiymatlar 0 yoki bepul a'zo qiymatlari bo'lishi tavsiya etiladi. 
Oddiy takrorlash usuli formulasi:
,  (48)
Taxminiy usullarda  eritmani olishning aniqlik darajasi ko'rsatilgan (44-rasm).
Berilgan aniqlik darajasiga erishish sharti quyidagi tengsizlikning bajarilishi hisoblanadi:
. (49)
Biz aniq yechimni bilmasligimiz sababli  (49) shartdan foydalanish deyarli mumkin emas. Amalda (49) ga ekvivalent boshqa shart qo'llanilishi mumkin:
. (ellik)
Shunday qilib, noma'lumlar vektorini topish sharti shartning bajarilishi hisoblanadi:
Barcha uchun

Математическая модель