Elektr ta’minoti sistemalarni holat tenglamalarini Gauss usulida yechish

Elektr ta’minoti sistemalarni holat tenglamalarini Gauss usulida yechish

Uch noma’lumli uchta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini qaraymiz:

Bu sistema determinanti noldan farqli, ya’ni sistema yagona yechimga ega, undan tashqari, deb faraz qilamiz (a₁₁=0 bo‘lsa, tenglamalarning o‘rnini almashtirish bilan bunga erishish mumkin) va uni yyetakchi koeffitsient, unga mos tenglamani esa yyetakchi tenglama deb nomlaymiz.
Sistemaning birinchi tenglamasini a₁₁ ga bo‘lib, yyetakchi tenglamani


(2.1)

ko‘rinishga keltiramiz va x₁ ni bazis noma’lum deb hisoblaymiz. Bu yerda

.
Olingan (2.1) tenglama yordamida sistemaning qolgan ikkala tenglamalaridagi x₁ qatnashgan hadlarni yo‘qotamiz (masalan, (2.2) ni – a₂₁ ga ko‘paytirib ikkinchi tenglamaga hadlab qo‘shsak a₂₁x₁ had yo‘qotiladi):


(2.2)

Bu yerda

Endi, deb faraz qilib (aks xolda tenglamalar o‘rnini almashtirib bunga erishamiz), uni (2.3) sistema uchun yyetakchi koeffitsient hisoblab, (2.3) sistemaning birinchi tenglamasini unga bo‘lib, x₂ ni bazis noma’lum deb hisoblab,

(2.3)
tenglamani olamiz. Bu yerda

olingan oxirgi tenglama yordamida (2.3) sistema 2-tenglamasidagi x₂ qatnashgan hadni yo‘qotib

ga ega bo‘lamiz. Bu yerda

Shunday qilib, quyidagi teng kuchli sistemalarni oldik:

Oxirgi sistemada va uni olish uchun yetakchi koeffitsient, x₃ esa bazis noma’lum bo‘lishi ravshandir.

Bu teng kuchli sistemalarni hosil qilish jarayoni Jordan-Gauss usulining olg‘a borish bosqichi deb yuritiladi. Unda bitta, ya’ni x₃ noma’lumning qiymati aniq bo‘lib qoldi. Qolgan noma’lumlarning qiymatlari ketma-ket

formulalar bilan hisoblanadi va bu jarayon usulning ortga qaytish bosqichi deb yuritiladi.

Bu usulni umumiy holda (2.3) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga qo‘llash jarayoni ham xuddi yuqoridagidek kechadi.
Bu o‘rinda shuni ham aytamizki, (2.3) sistemaning birgalikda ekanligi haqidagi ma’lumot bo‘lmagan taqdirda ham (uni tekshirmasdan ham) unga bu usulni qo‘llash mumkin. Bu holda, uning yechimi yagona bo‘lsa, Jordan-Gauss usulining olg‘a borish jarayoni yakunida (2.3) sistemani

ko‘rinishga keltirish mumkin bo‘lib, uni uchburchakli sistema deb yuritiladi va mazkur holda sistemaning aniqlangan ekanligi ravshandir.

(2.3) sistemaning yechimi cheksiz ko‘p bo‘lganda esa, uni

ko‘rinishga keltirish mumkin bo‘ladi, bu yerda 1km, k. Bunday sistemani pog‘onali sistema deb ataladi va bu holda sistema aniqlanmagan bo‘lishi ravshandir.

Chiziqli algebraik tenglamalarni determinant yordamida yechish ikki va uch noma’lumli tenglamalar sistemasi uchun qulay. Tenglamalar soni sistemada ko‘p bo‘landa Gauss metodi qulay. Bu metodni 4 noma’lumli 4 ta tenglamalar sistemasida tahlil qilamiz:

Ikkinchi, uchinchi, to‘rtinchi tenglamalardan larni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamani ketma-ket -1, -2, -2 ga ko‘paytiramiz va mos ravishda ikkinchi, uchinchi, to‘rtinchi tenglamalar bilan qo‘shamiz. Natijada ushbu sistemaga ega bo‘lamiz:

yoki

Uchinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayiramiz:

So‘ngra to‘rtinchi tenglamani -6 ga ko‘paytirib, uchinchi tenglamaga qo‘shsak, uchburchak sistema hosil bo‘ladi:

Bundan,




Shunday qilib,



Nazorat savollari.

1. 
   Sistema qay vaqtda aniqmas bo‘ladi?
   
2. 
   Bir jinsli chiziqli tenlamalar sistemasi birgalikda bo‘lmasligi mumkinmi?
   
3. 
   Gauss usuli bo‘yicha tenglamalar tizimi tuzing.
   
4. 
   Gauss usuli qanday tartib bilan aniqlanadi?
   

Mustaqil bajarish uchun variantlar