Funksional analiz

ABDULLA QODIRIY NOMIDAGI
JIZZAX DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI

“Tasdiqlayman”
Oʻquv ishlari boʻyicha prorektor
_____________ B.Q.To‘xtamishev
“______” ________________2023-yil

“FUNKSIONAL ANALIZ”

FAN SILLABUSI

Bilim sohasi:	100000 – Ta’lim
Ta’lim sohasi:	110000 – Ta’lim
Ta’lim yoʻnalishi:	60110600 – Matematika va informatika

Fan nomi: Funksional analiz Fan turi: Tanlov Fan kodi: FunkAnalF3004 Yil: 4 Semestr: 7 Ta’lim shakli: Kunduzgi Mashg‘ulotlar shakli va semestrga ajratilgan soatlar: 120 Ma’ruza 26 Amaliy mashg‘ulotlar 30 Laboratoriya mashg‘ulotlari – Seminar – Mustaqil ta’lim 64 Kredit miqdori: 4 Baholash shakli: Imtihon Fan tili: O‘zbek

Jizzax – 2023

Fan maqsadi (FM)
FM1	Talabalarga nazariy bilim berish, tegishli tushunchalar, tasdiqlar, funksional analizga xos boʻlgan isbotlash usullarini oʻrgatish, olgan nazariy bilimlarini masalalar yechishga tadbiq eta bilish, ularda mantiqiy mushoxada qilish, fazoviy tasavvur hamda abstrakt tafakkur kabi, inson faoliyatining barcha sohalari uchun zarur boʻlgan qobiliyatni shakllantirishdan iboratdir.

Fanni o‘zlashtirish uchun zarur boshlang‘ich bilimlar
1.	Matematik analiz
2.	Algebra va SN
3.	Geometriya
4.	Differensial tenglamalar

Ta’lim natijalari (TN)
	Bilimlar jihatidan:
TN1	Kontinium quvvatli,sanoqli va sanoqsiz,chekli va cheksiz,ekvivalent toʻplamlarni bilish;Akslantirishlar va ularning turlari;Oʻlchov tushunchasi; elementar toʻplam,tekisliklarning oʻlchovi;Oʻzgarishi chegaralangan va absolyut uzluksiz funksiyalar; Chiziqli fazo; Metrika va norma; Spektr va rezolventa; Xos qiymat va xos funksiya; Integral tenglamalar ,ularni yechish va ularning amaliyotdagi tadbiqini bilishi haqida tasavvur va bilimga ega boʻlishi kerak;
TN2	Ixtiyoriy toʻplamning oʻlchovini topish; Berilgan operatorlarning normasini topish; Operatorlarning xos qiymati,xos funksiyalarini toppish,spektrning turlarini ajrata olish koʻnikmalariga ega boʻlishi lozim;
TN3	Funksional analiz predmetini tinglagan talabalar nazariy bilimlarni puxta oʻzlashtirgan boʻlishlari, mavzularning moxiyatini tushungan boʻlishlari va amaliy masalalarni yechishda nazariy ma’lumotlarni tadbiq malakasiga ega boʻlishi kerak.

Fan mazmuni
Mashg‘ulotlar shakli: ma’ruza (M)
	Toʻplamning quvvati (2 soat).
	Toʻgʻri chiziqdagi nuqtalar toʻplami (2 soat).
	Uzluksiz chiziqlar, toʻgʻrilanuvchi chiziqlar (2 soat).
	Toʻplamning Jordan oʻlchovi tushunchasi (2 soat).
	Chiziqli toʻplamning Lebeg oʻlchovi (2 soat).
	Oʻlchovli funksiyalar va ularning xossalari (2 soat).
	Integral tushunchasini umumlashtirish (2 soat).
	Metrik fazolar (2 soat).
	Separabel va kompakt metrik fazolar (2 soat).
	Chiziqli fazolar (2 soat).
	Normalangan fazolar (2 soat).
	Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar va operatorlar (2 soat).
	Normalangan fazolarda differensial hisob (2 soat).
Mashg‘ulotlar shakli: amaliy mashg‘ulot (A)
	Toʻplamning quvvati (2 soat).
	Toʻgʻri chiziqdagi nuqtalar toʻplami (2 soat).
	Uzluksiz chiziqlar, toʻgʻrilanuvchi chiziqlar (2 soat).
	Toʻplamning Jordan oʻlchovi tushunchasi (2 soat).
	Chiziqli toʻplamning Lebeg oʻlchovi (2 soat).
	Oʻlchovli funksiyalar va ularning xossalari (2 soat).
	Integral tushunchasini umumlashtirish (2 soat).
	Integral tushunchasini umumlashtirish (2 soat)
	Metrik fazolar (2 soat).
	Separabel va kompakt metrik fazolar (2 soat).
	Chiziqli fazolar (2 soat).
	Normalangan fazolar (2 soat).
	Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar va operatorlar (2 soat).
	Normalangan fazolarda differensial hisob (2 soat).
	Chiziqli operatorlar (2 soat).
Mustaqil ta’lim (MT)
	Metrik fazolarda uzluksiz akslantirishlar
	Qisqartirib aks ettirish prinsipi va uning xossalari
	Metrik fazolarni toʻldirish
	Veyl teoremasi va uning tadbiqlari
	Sanoqli kompaktlik tushunchasi
	Separabel metrik fazolar
	Gyolder Va Minkovskiy tengsizliklari
	Arsellaning umumiy teoremasi
	Peano teoremasi
	Spektral teorema
	Fubini teoremasi
	Hilbert-Shmidt tipidagi operatorlar
	Banax fazolarida kompakt operatorlar
	Integral tenglamalarni rezolventa usulida yechish
	Abel integral tenglamasi
	Proektorlar, ularning xossalari
	Ortogonal proektorlar
	Unitar va unitar ekvivalent operatorlar
	Chekli oʻlchamli operatorlar
	Jordan, Peano chiziqlari
	Kantor va Urison chiziqlari
	Toʻgʻrilanuvchi chiziqlar
	Kvadratlanuvchi soha. Yuzaning additivligi
	Stiltes integrali, xossalari
	Stiltes integralini hisoblash
	Riman va Lebeg integrallarini taqqoslash
	R", C[a,b], 1, 12 fazolarning separabelligi
	Faktor fazolar
	Banax fazosi
	Braxistoxron masalasining yechimi
	Gilbert fazosi
	Kompaktlik kriteriysi

MUSTAQIL TA`LIM
Mustaqil ta`lim mazkur kurs mazmunini toʻliq qamrab olishga qaratilgan bo‘lib, nazariy egallangan bilimlarni kengaytirish, talabalarning mustaqil oʻqish faoliyatini yoʻlga qoʻyishga asoslangan.
Mustaqil ish topshiriqlari o‘quv loyihasi, taqdimot, keys-stadi, masala yechish, axborot izlash, dayjest, maqola, referat va boshq. ko‘rinishlarda bajariladi.
Mustaqil ta’lim bo‘yicha bajarilgan topshiriqlar elektron tizimda joylashtiriladi hamda antiplagiat dasturi asosida tekshirilib, fan o‘qituvchisi tomonidan baholanadi.
Bunda, bajarilgan topshiriqning o‘ziga xosligi 60%dan kam bo‘lmasligi lozim, aks holda topshiriq baholash uchun qabul qilinmaydi.
Mustaqil ish topshiriqlarining soni fannining xususiyatidan kelib chiqib, bitta fan (modul) bo‘yicha 3 tadan kam bo‘lmasligi lozim.
Mustaqil ish topshiriqlari joriy va oraliq nazorat uchun ajratilgan ballning 60 foizini tashkil qiladi.


Talaba semestr yakuniga qadar mustaqil ish topshiriqlarini bajarishi zarur va buning uchun 30 ball beriladi.


ORALIQ NAZORAT O‘TKAZILISH TARTIBI
Oraliq nazorat semestr davomida fanning o‘quv dasturining tegishli moduli tugagandan keyin talabaning bilim va amaliy ko‘nikmalarini baholash maqsadida o‘quv mashg‘ulotlari davomida o‘tkaziladi.
Oraliq nazorat mazkur fan doirasida 2 marta yozma ko‘rinishida o‘tkaziladi. Oraliq nazorat savollari 1-10-fan mavzularini qamrab oladi.
Oraliq nazorat ballari nazorat o‘tkazilgan kunning o‘zida elektron tizimga kiritilishi shart.
Oraliq nazorat jadvali Registrator ofisi tomonidan yaratiladi.

ORALIQ NAZORAT SAVOLLARI

1. 
   Akslantirishlar va ularning turlari
   
2. 
   Chekli va cheksiz to’plamlar
   
3. 
   Sanoqli to’plamlar
   
4. 
   Haqiqiy sonlar to’plamining sanoqsizligi
   
5. 
   To’plamlar halqasi
   
6. 
   To`plamlar yarim halqasi
   
7. 
   Agar to`plamlar sistemasi kesishma va ayirma amallariga nisbatan yopiq bo`lsa, u halqa bo`lmasligi mumkin. Misol keltiring.
   
8. 
   Monoton funksiyalar
   
9. 
   O’zgarishi chegaralangan funksiyalar
   
10. 
    Ixtiyoriy uchun tenglik o’rinli ekanligini isbotlang.
    
11. 
    Metrik fazoni ta’riflang va misollar keltiring.
    
12. 
    Asosiy metrik fazolar.
    
13. 
    Ochiq shar va yopiq shar
    
14. 
    Ochiq va yopiq to’plamlar
    
15. 
    To’la metrik fazoni ta’riflang va misol keltiring.
    
16. 
    – bilan cheksiz o’nli kasr yoyilmasida 8 raqami qatnashmaydigan sonlar to’plamini belgilaymiz. Uning o’lchovini toping.
    
17. 
    – bilan cheksiz o’nli kasr yoyilmasida 2 raqami 5 raqamidan oldin uchraydigan sonlar to’plamini belgilaymiz. Uning o’lchovini toping.
    
18. 
    – bilan cheksiz o’nli kasr yoyilmasida 4 raqami 6 raqamidan oldin uchraydigan sonlar to’plamini belgilaymiz. Uning o’lchovini toping.
    
19. 
    – bilan cheksiz o’nli kasr yoyilmasida 4 raqami 3 raqamidan oldin uchraydigan sonlar to’plamini belgilaymiz. Uning o’lchovini toping.
    
20. 
    to’plamda funksiyaning o’lchоvli ekanligini ko’rsating.
    
21. 
    Ushbu funksiya to’plamda o’lchоvli ekanini ko’rsating.
    
22. 
    to’plamda funksiya o’lchоvli bo’lsa, funksiya ham o’lchоvli bo’ladimi? Javobingizni asoslang.
    
23. 
    funksiya uchun Lеbеg intеgralini ta’rif bo’yicha hisоblang.
    
24. 
    funksiya uchun Lеbеg intеgralini ta’rif bo’yicha hisоblang.
    
25. 
    funksiya uchun Lеbеg intеgralini ta’rif bo’yicha hisоblang.
    
26. 
    funksiya uchun Lеbеg intеgralini ta’rif bo’yicha hisоblang.
    
27. 
    to`plamlar uchun
    

28. 
    to`plamlar uchun
    

29. 
    to`plamlar uchun
    

30. 
    to`plamlar uchun
    

31. 
    Butun sоnlar to’plami natural sоnlar to’plamiga ekvivalеnt ekanini ko’rsating.
    
32. 
    (0,1) оraliq va оraliq o’rtasida o’zarо bir qiymatli mоslik o’rnating.
    
33. 
    [0,1] kеsma va to’plam o’rtasida o’zarо bir qiymatli mоslik o’rnating.
    
34. 
    [0,1] kеsmadagi, o’nli kasr ko’rinishidagi yozuvida faqat 0,1,3,5 raqamlari qatnashadigan sоnlar to’plamining o’lchovini toping.
    
35. 
    Quyidagi to’plamni tuzilishini qarab o’lchоvini tоping. Bu еrda A o’nli kasr ko’rinishida yozilganda kеtma-kеt 2 marta 3 raqami qatnashmaydigan sоnlar to’plami.
    
36. 
    to’plam o’lchоvli to’plam ekanini ko’rsating va o’lchоvini tоping.
    
37. 
    Ushbu to’plamning o’lchоvli ekanligini ko’rsating va o’lchоvini tоping.
    
38. 
    to’plamning o’lchоvini tоping.
    
39. 
    to’plamning o’lchоvini tоping.
    
40. 
    funksiya uchun Lеbеg intеgralini ta’rif bo’yicha hisоblang.
    
41. 
    funksiya uchun Lеbеg intеgralini ta’rif bo’yicha hisоblang.
    
42. 
    funksiyaning to‘la o‘zgarishini toping.
    
43. 
    funksiyaning to‘la o‘zgarishini toping.
    
44. 
    funksiyaning to‘la o‘zgarishini toping.
    
45. 
    funksiyaning to‘la o‘zgarishini toping.
    
46. 
    Tekislikdagi va to’plamlar simmetrika ayirmasidan hosil qilgan sohaning yuzini hisoblang.
    

47. 
    Tekislikdagi va to’plamlar simmetrika ayirmasidan hosil qilgan sohaning yuzini hisoblang.
    

48. 
    to’plamning o’lchovini toping.
    
49. 
    to’plamning o’lchovini toping.
    
50. 
    to’plamning o’lchovini toping.
    
51. 
    to‘plamda uchun tenglik orqali kiritilgan metrikada markazi nuqtada va radiusi 1 ga teng ochiq shar , yopiq shar va sferalarni chizib ko‘rsating.
    
52. 
    to‘plamda uchun tenglik orqali kiritilgan metrikada markazi nuqtada va radiusi 1 ga teng ochiq shar , yopiq shar va sferalarni chizib ko‘rsating.
    
53. 
    to‘plamda uchun tenglik orqali kiritilgan metrikada markazi nuqtada va radiusi 1 ga teng ochiq shar , yopiq shar va sferalarni chizib ko‘rsating.
    
54. 
    to‘plamda uchun tenglik orqali kiritilgan metrikada markazi nuqtada va radiusi 1 ga teng ochiq shar , yopiq shar va sferalarni chizib ko‘rsating.
    
55. 
    to‘plamda
    

metrika kiritilgan. Markazi (0;1;2) nuqtada radiusi esa 1 ga teng bo‘lgan sferani chizing.

56. 
    to‘plamda
    

metrika kiritilgan. Markazi (0;1;2) nuqtada radiusi esa 2 ga teng bo‘lgan sferani chizing.

57. 
    to‘plamda
    

metrika kiritilgan. Markazi (1;1;2) nuqtada radiusi esa 1 ga teng bo‘lgan sferani chizing.

58. 
    to‘plamda
    

metrika kiritilgan. Markazi (0;1;2) nuqtada radiusi esa 3 ga teng bo‘lgan sferani chizing.

59. 
    Interval ochiq, kesma yopiq to‘plam ekanligini isbotlang.
    
60. 
    Agar va bo‘lsa, tenglama yagona yechimga ega ekanligini isbotlang.
    
61. 
    Agar uzluksiz funksiya bo‘lsa, tenglamaning yechimi mavjudligini isbotlang.
    
62. 
    uchun va elementlar orasidagi masofa ni toping.
    
63. 
    uchun va elementlar orasidagi masofa ni toping.
    
64. 
    uchun va elementlar orasidagi masofa ni toping.
    
65. 
    uchun va elementlar orasidagi masofa ni toping.
    
66. 
    uchun va elementlar orasidagi masofa ni toping.
    
67. 
    uchun va elementlar orasidagi masofa ni toping.
    
68. 
    akslantirish metrikaning qaysi shartini qanoatlantirmasligini aniqlang.
    
69. 
    akslantirish metrikaning qaysi shartini qanoatlantirmasligini aniqlang.
    
70. 
    akslantirish metrikaning qaysi shartini qanoatlantirmasligini aniqlang.
    
71. 
    akslantirish metrikaning qaysi shartini qanoatlantirmasligini aniqlang.
    
72. 
    akslantirish metrikaning qaysi shartini qanoatlantirmasligini aniqlang.
    
73. 
    akslantirish metrikaning qaysi shartini qanoatlantirmasligini aniqlang.
    
74. 
    Quyidagi funksiyalarning to’la o’zgarishini hisoblang.
    
75. 
    
    
76. 
    
    
77. 
    
    
78. 
    
    
79. 
    
    
80. 
    
    
81. 
    
    
82. 
    
    
83. 
    
    
84. 
    
    
85. 
    
    
86. 
    
    
87. 
    
    
88. 
    
    
89. 
    
    
90. 
    
    
91. 
    
    
92. 
    
    
93. 
    
    
94. 
    parameter a ning qanday qiymatida funksiyaning to’la o’zgarishi minimal bo’ladi?
    
95. 
    
    
96. 
    
    
97. 
    
    
98. 
    
    
99. 
    
    
100. 
     
     
101. 
     
     
102. 
     
     
103. 
     Ikki monoton funksiyaning yig’indisi monoton funksiya bo’ladimi?
     

funksiyalarni tahlil qiling

104. 
     Ikki monoton funksiyaning ko’paytmasi monoton funksiya bo’ladimi?
     

funksiyalarni tahlil qiling.

105. 
     Tekislikdagi A(x₁,y₁) va B(x₂,y₂) nuqtalar uchun (A,B)=|x₂-x₁|+|y₂-y₁| kabi aniqlangan funksiya metrika bo‘ladimi?
     
106. 
     To‘g‘ri chiziqda quyidagi funksiyalarning qaysi biri metrika bo‘ladi?
     
     1. 
        (x,y)=x³–y³;
        
     2. 
        (x,y)=|x³–y³|;
        
     3. 
        (x,y)=|arctgx–arctgy|
        
107. 
     Agar M={a,b,c} to‘plamda (a,c)=(c,a)=(a,b)=(c,b)=2, (b,c)= (b,a)=1 kabi aniqlangan  funksiya metrika bo‘ladimi?  uchburchak aksiomasini qanoatlantiradimi?
     
108. 
     Agar M={a,b,c} to‘plamda (a,b)=(b,c)=1 shartni qanoatlantiruvchi  metrika berilgan bo‘lsa, u holda (a,c) qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin?
     
109. 
     Metrika aksiomalari quyidagi
     
     1. 
        (x,y)=0 munosabat faqat x=y bo‘lganda bajariladi;
        
     2. 
        (x,y)  (x,z)+ (y,z)
        
110. 
     ikkita aksiomaga ekvivalent ekanligini isbotlang.
     
111. 
     Aylanada r(A,B) - vatar bo‘yicha va (A,B)- yoy bo‘yicha metrika kiritish mumkinligini tekshiring. Bu metrikalarning birini ikkinchisi orqali qanday ifodalash mumkin?
     
112. 
     Quyida berilgan funksiyalarning absolyut uzluksizgini ta’rif yordamida isbotlang.
     
113. 
     
     
114. 
     
     
115. 
     
     
116. 
     
     
117. 
     
     
118. 
     
     
119. 
     
     
120. 
     
     
121. 
     Kengaytirilgan to‘g‘ri chiziq, ya’ni to‘plamda
     

a) ; b)
metrikalar kiritilgan. Agar bo‘lsa, to‘plamlarni, ya’ni markazi ± , radiusi r bo‘lgan ochiq sharlarni chizib ko‘rsating.