I. Imomov, E. Nizomxonov Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

 

 

 

 

 

 

 

 

I.Imomov, E.Nizomxonov 

 

 

 

 

Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika 

 

 

uslubiy qo‘llanma 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qarshi -2011y. 

“Ehtimolliklar  nazariyasi  va  matematik  statistika”  fanidan  tuzilgan  mazkur 

uslubiy  qo‘llanma  O’zbekiston  Milliy  Universiteti    o‘quv-metodik  kengashi 

tomonidan  tasdiqlangan  namunaviy  va  Qarshi  Davlat  Universiteti    o’quv-metodik 

kengashi  tomonidan  tasdiqlangan  ishchi  o’quv  dasturi  asosida  tuzilgan  bolib, 

qo’llanma  universitetlarning  “fizika”  va  “astronomiya”  yo’nalishida  ta’lim  oluvchi 

talabalarga, hamda ushbu fanni mustaqil o’rganuvchilar uchun uchun mo’ljallangan. 

 

Tuzuvchilar: I.Imomov, E.Nizomxonov 

 

Taqrizchilar: TATU ning Qarshi filiali dosenti A. Hamrayev, 

Qarshi DU dosenti E. Eshdavlatov 

 

 

 

 

 

 

Qarshi Davlat universitetining 2011 yil yanvar  Ilmiy Kengashi  

tomonidan chop etishga tavsiya etilgan   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

So’z boshi 

 

“Ehtimolliklar  nazariyasi  va  matematik  statistika”  uslubiy  qo‘llanmasi  O‘zbekiston  Milliy 

Universiteti    o’quv-metodik  kengashi  tomonidan  tasdiqlangan  namunaviy  va  Qarshi  Davlat 

Universiteti    o’quv-metodik  kengashi  tomonidan  tasdiqlangan  o’quv  dasturi  asosida  tuzilgan. 

Mazkur  o’quv  qo’llanmasi  “fizika”  va  “astronomiya”  yo’nalishida  ta’lim  oluvchi  talabalarga 

“Ehtimolliklar  nazariyasi  va  matematik  statistika”  fanini  o’rganish  uchun  mo’ljallangan.  Uslubiy 

qo‘llanma  “Ehtimolliklar  nazariyasi  va  matematik  statistika”  fanining  “tasodifiy  hodisalar”,  

“tasodifiy  miqdorlar  va  ularning  funksiyalari”,  hamda  “matematik  statistika”  qismlaridan    tashkil 

topgan.  Har  bir  mavzu  3  qismdan  iborat:  qisqacha  mavzuga  tegishli  nazariya  bayon  qilingan, 

mavzuga  tegishli  nazariya  va  amaliy  masalalar  yechish  jarayoni  yoritilgan  va  mustaqil  ishlash 

uchun masalalar keltirilgan. 

 

Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani metodlari hozirda  fizik va astronomik 

hodisalarni  tahlil  etishda  keng    qo’llanilmoqda.    Ushbu  fanning  asoslarini  chuqur  o‘rganib,  o’z 

faoliyatlarida  qo’llay  olish  usullari  haqida  yaxshi  tasavvurga  ega  bo’lgan  mutaxassislar  fizik  va 

astronomik hodisalarni chuqur tahlil eta olishlari mumkin. 

 

So‘ngi vaqtlarda  o‘qish va o’rganish jarayonida zamonaviy kompyuter dasturlaridan va turli 

xil maxsus statistik  paketlardan foydalanilmoqda. Qo’llanmada ehtimollar nazariyasi va matematik 

statistika  fanining  amaliy  mashg’ulotida  zamonaviy  shaxsiy  komp’yuterlardan  foydalanish 

maqsadida EXSEL sistemasining ayrim standart funksiyalariga joy ajratilgan. 

 

 

Ehtimollik nazariyasi. Tasodifiy hodisalar. 

Kombinatorika elementlari. 

Kombinatorika – bu diskret matematikaning diskret to’plam elementlarini berilgan qoidalar 

asosida tanlash va joylashtirish bilan boq’liq masalalarni yechish usullarini o’rganuvch bo’limdir.  

Qandaydir  predmetlardan  tashkil  topgan  guruhlar  birikmalar  yoki  kombinatsiyalar  deb 

ataladi. 

Uch xil turdagi kombinatsiyalar bor: o’rin almashtirish, o’rinlashtirish va mosliklar. 

O‘rin almashtirishlar 

n ta elementli o’rin almashtirishlar deb, bir-biridan faqat elementlarining tartibi bilan  farq 

qiladigan n ta elementli birikmalarga aytiladi. Masalan, 3 ta 

C

va

B

A,

 elementdan 6 ta o’rin 

almashtirish bajarish mumkun: 

BCA

CBA

CAB

ACB

BAC

ABC

,

,

,

,

,

.  

n ta elementli o’rin almashtirishlar soni quyidagi formula yordamida hisoblanadi: 

 





!

1

2

1

n

n

n

P

n

















 

 

Namunaviy masala yechish 

 

 

Masala: 

3

2

,

1

va

 raqamlardan ularning har biri tarkibida faqat bir marta uchraydigan 

nechta 3 xonali son tuzish mumkin? 

 

Yechish:  

6

1

2

3

!

3

3











P

 ta. 

 

EXSEL dasturining standart funksiyalari:  

 

Matematik  funksiyalar. 

!

n

  qiymatini  maxsus 



)

(SON

FAKTR

  nomli  funksiya  hisoblaydi. 

Bunda 

SON

 -  n  ning miqdoriy qiymatiga teng. Shuningdek ikkilangan faktorial 

!

!

n

: 

)

1

2

(

...

2

1

!

)!

1

2

(

!

!















k

k

n

    (n – toq) 

)

2

(

...

4

2

!

)!

2

(

!

!

k

k

n











  (n – juft) 

Uning  qiymatini maxsus 

)

(SON

DVFATR

 nomli funksiya hisoblaydi. 

O’rinlashtirishlar 

 

n ta elementdan m ta dan   o’rinlashtirishlar deb, har birida berilgan n ta elementdan m tasi 

olingan  shunday birikmalarga aytiladiki, ularning har  biri  hech bo’lmaganda bitta elementi bilan 

yoki faqat ularning  joylashish tartidi bilan farq qiladi. 

 

Masalan,  3  ta 

C

va

B

A,

  dan  ikkita  elementli    6  ta  o’rinlashtirish  mavjud: 

;

,

,

,

,

,

CB

CA

BA

BC

AC

AB

 

n ta elementda m ta dan   o’rinlashtirishlar soni  





;

!

!

m

n

n

A

m

n





    





n

m





0

 

 formulasi  bilan hisoblanadi. 

.

1

;

0

1





n

n

A

n

A

 

EXSEL dasturining standart funksiyalari: 

Statistik 

funksiyalar. 

 

O’rinlashtirishlar 

sonining 

qiymatini 

maxsus 

)

_

;

(

SON

TALANGAN

SON

PEREST

  nomli  funksiya  hisoblaydi.  Bunda 

SON

  -  barcha  tanlash 

obyektlari soni (ya’ni  n ); 

SON

TANLANGAN _

 - tanlanayotgan obyektlari soni (ya’ni  m ). 

Namunaviy masala yechish 

 

Masala:  Universitet  Ilmiy  Kengashi  turli  lavozimlarga  10  ta  nomzoddan  3  tasini 

tanlanmoqda.  Har  bir  nomzod  bir xil imkoniyatga  ega.  10  ta  nomzoddan  3  kishidan  iborat  nechta 

guruh tuzish mumkin? 

Yechish: 

720

8

9

10

3

10











A

N

 ta guruh tuzish mumkin. 

EXSEL:  O’rinlashtirishlar  sonining  qiymati  maxsus 

)

_

;

(

SON

TALANGAN

SON

PEREST

 

nomli funksiyaga murojaat qilib topiladi: 

)

3

;

10

(

PEREST

. 

 

 

Mosliklar 

 

n  ta  element  orasidan  m  ta  element  dan    tuzilgan  mosliklar  deb,  har  birida  berilgan  n  ta 

elementdan  m  tasi  olingan  shunday  birikmalarga  aytiladiki,  ularning  har  biri  hech  bo’lmaganda 

bitta elementi bilan  farq qiladi. 

n ta element orasidan m ta element dan  tuzilgan mosliklar soni  





,

!

!

!

m

n

m

n

C

m

n





          





n

m





0

. 

formulasi  bilan hisoblanadi. 

Xossalar: 

1. 

.

1

0

0

0





C

C

n

        2. 

.

1

n

C

n



   3.   

).

2

(

,

n

m

C

C

m

n

n

m

n







 

4. 

n

n

n

n

n

C

C

C

2

1

0











.    5. 

1

1

1











m

n

m

n

m

n

C

C

C

, 





n

m





0

. 

 

EXSEL dasturining standart funksiyalari:  

Matematik 

funksiyalar. 

Mosliklar 

sonining 

qiymatini 

maxsus 

)

_

;

(

SON

TALANGAN

SON

CHISLKOMB

 nomli funksiya hisoblaydi. Bunda 

SON

 - barcha tanlash 

obyektlari soni (ya’ni  n ); 

SON

TANLANGAN _

 - tanlanayotgan obyektlari soni (ya’ni 

m ). 

Namunaviy masala yechish 

 

Masala:  Universitet  Ilmiy  Kengashi  turli  lavozimlarga  10  ta  nomzoddan  3  tasini 

tanlanmoqda. Har bir nomzod bir xil imkoniyatlga ega. 10 ta  nomzoddan 3 kishidan iborat har xil 

tarkiblinechta guruh tuzish mumkin? 

Yechish: 

120

!

3

!

7

!

10

3

10









C

N

 ta guruh tuzish mumkin. 

EXSEL: 

Matematik 

funksiyalar. 

Mosliklar 

sonining 

qiymati 

maxsus 

)

_

;

(

SON

TALANGAN

SON

CHISLKOMB

 

nomli 

funksiyaga 

murojaat 

qilib 

topiladi: 

)

3

;

10

(

CHISLKOMB

 

 

 

Takrorlanishli o’rin almashtirishlar 

 

 

n ta  

C

B

A

,

,

,



 elementlar mavjud bo’lub, ularning ichida 

A

 element 



 marta, 

B

 element 



 marta va h.k. hamda  

C

 element 



  marta takrorlansin  va 

















n

  bo’lsin.  U holda, 

takrorlanishli o’rin almashtirishlar  

!

!

!

!

.

















n

P

takr

 

formula yordamida topiladi. 

 

 

Namunaviy masala yechish 

 

 

Masala: 4 ta  

C

va

B

A

A

,

,

 elementlardan  nechta guruh tuzish mumkin? 

 

Yechish: 

12

!

1

!

1

!

2

!

4









takr

P

ta. 

Takrorlanishli o’rinlashtirishlar 

 

n ta  elementdan   m ta  dan    takrorlanishli  o’rinlashtirishlarda 





n

m



 ixtiyoriy element  1 

dan m  martagacha uchrashi yoki umuman uchramasligi mumkin, ya’ni har bir n ta elementdan  m 

ta  dan    takrorlanishli    o’rinlashtirish  nafaqat  turli  elementdan,  balki  m  ta  ixtiyoriy  ravishda 

takrorlanuvchi  ixtiyoriy  elementlardan  tashkil  etilgan,  hech  bo’lmaganda    elementlarining 

joylashish tartidi bilan farq qilivchi guruhlar har xil guruh hisoblanadi. 

 

n   ta elementdan   m  ta dan   takrorlanishli o’rinlashtirishlar soni  

m

m

takr

n

n

A



.

,

 

formula yordamida topiladi. 

 

Namunaviy masalalar yechish 

 

 

Masala:  Seyfning  shifrli  kodi  6  xonali  sondan  iborat.  Kodlashtirganda  nechta  turli 

kombinatsiya tuzish mumkin? 

 

Yechish:  

1000000

10

6

6

,

10







m

takr

n

A

. 

Takrorlanishli mosliklar 

 

n  ta  elementdan    m  ta  dan      takrorlanishli  mosliklarda 





n

m



  ixtiyoriy  element  1  dan  m  

martagacha uchrashi yoki umuman uchramasligi mumkin, ya’ni har bir n ta elementdan  m ta dan  

takrorlanishli  o’rinlashtirish nafaqat turli elementdan, balki m ta ixtiyoriy ravishda takrorlanuvchi 

ixtiyoriy elementlardan tashkil tohishi mumkin. Tarkibi bir xil bo’lib, faqat elementlarining tartibi 

bilan farq qilivchi guruhlar farq qilinmaydi. 

 

n ta elementdan  m ta dan   takrorlanishli o’rinlashtirishlar soni  









!

1

!

!

1

1

.

,















n

m

m

n

C

C

m

m

n

m

takr

n

 

formula yordamida topiladi. 

Namunaviy masala yechish 

 

 

Masala: 1-4 kurs talabalaridan 6 tasini necha xil usul bilan tanlash mumkin? 

 

 

Yechish:                            

84

!

3

!

6

!

9

6

,

4







takr

C

. 

EXSEL: 

Matematik 

funksiyalar. 

Mosliklar 

sonining 

qiymati 

maxsus 

)

_

;

(

SON

TALANGAN

SON

CHISLKOMB

 

nomli 

funksiyaga 

murojaat 

qilib 

topiladi: 

)

6

;

1

4

6

(





CHISLKOMB

. 

Mustahkamlash uchun masalalar 

1. Universitet bitiruvchilarni ishga taklif etilgan  9 ta yopiq konvert oldi. Konvertlarni ochish 

tartibining necha usuli mavjud? (J.: 362 880) 

2. Universitetning 15 ta kafedrasining laboratoriyalari uchun uskunalar olishi kerak. Lekin 

universitetning 8 ta uskunalar olishga mablag’i etadi. Universitet 8 ta uskunalarni necha xil usul 

bilan tanlab olishi mumkin? (J.:6435) 

3.  Aviakopaniya  Qarshi-Toshkent  yo’nalishida  6  ta,    Toshkent-Anqara  yo’nalishida  2  ta 

reysga ega. Agar reyslar har xil kunlarda bajarilsa, Qarshidan Anqaragacha nechta usul bilan chipta 

buyurish mumkin? 

4.  20  ta  odam  qatnashayotgan  majlis  2  ta  konferentsiyaga  2  ta  vakilni  saylamoqda.  Buni 

necha  usul  bilan  bajarish  mumkin?  Bitta  konferentsiyaga  2  ta  vakilni  nechta  usul  bilan  tanlash 

mumkin? 

5.  Kompyuter  tarmoq’iga  kirish  uchun  operator  4  ta  raqamdan  iborat  kodni  terishi  kerak. 

Operator  kerakli  kodni  unitib  qo’ydi.  Agar  koddagi  raqamlar:  a)  takrorlanmasa;  b)  takrorlansa  u 

kodni terish uchun hammasi bo’lib nechta kombinatsiya tuzish mumkin? 

 

Elementar hodisalar fazosi. Tasodifiy hodisalar ustida amallar 

 

 

Tajribaning har bir yaxlit natijasi  elementar hodisa  deb ataladi. Barcha elementar hodisalar 

to’plamini 

 







  deb belgilaymiz. 

 







 to’plam elementar hodisalar fazosi deb ataladi. 

 



 fazoning  

A



 qism to’plami hodisa deb ataladi. 

 

A

 va 

B

 hodisaning yig’indisi 

B

A



 deb yoki 

A

 hodisaga, yoki 

B

 hodisaga, yoki ularning 

ikkalasiga ham tegishli bo’lgan elementar hodisalardan iborat bo’lgan to’plamaga aytiladi. 

 

A

  va 

B

  hodisalarning  ko’paytmasi 

B

A



  yoki 

B

A



deb, 

A

  va 

B

  larning har ikkalasiga 

tegishli bo’lgan elementar hodisalardan iborat bo’lgan hodisaga aytiladi. 

 

A   va  B   hodisalarning  ayirmasi 

B

A \

  deb  A   ga  tegishli  va  B   ga  tegishli    bo’lmagan 

elementar hodisalardan iborat bo’lgan hodisaga aytiladi. 

 

Agar 







B

A

 bo’lsa, u holda 

A

 va 

B

 hodisalar birgalikda bo’lmagan hodisalar deyiladi 

hamda bu holda 

B

A



 ning o’riniga 

B

A



 yoziladi. 

 



 to’plam muqarrar hodisa, 



- to’plam mumkun  bo’lmagan hodisa deyiladi.  

 

Agar 







A

A

 va 







A

A

 bo’lsa, u holda 

A

 hodisa 

A

 hodisaga qarama-qarshi hodisa 

deyiladi. 

 

Mustahkamlash uchun masalalar 

1.  Tanga  ketma-ket  3  marta  tashlandi.  Tajriba  natijasi 

)

,

,

(

3

2

1

x

x

x

  ketma-ketlikdan  iborat 

bo’lib, har bir 

i

x  “G” –gerb yoki “R” – raqam tushishini bildiradi. 

a) Elementar hodisalar fazosini quring. 

b)  Kamida  2  marta  tanga  “gerb”  tomoni  bilan  tushishidan  iborat  bo’lgan  A  hodisani 

ifodalang. 

2. a). 

A

A



 va 

A

A



 hodisalarni ta’riflang. 

b) A va 

B

A



  hodisalar birgalikdami? 

3. Tekislikka tasodifiy ravishda nuqta tashlanmoqda. A – “nuqta A doiraga tushishi” va B – 

“nuqta  B  doiraga  tushishi”dan  iborat  hodisalar  bo’lsin. 

AB

AB

B

A

B

A

B

A

,

,

,

,

,





 

hodisalarni izohlang. 

4. Tasodifiy sonlar jadvalidan tasodifiy ravishda bir son olingan. A hodisa – “tanlangan son 

5 ga bo’linadi”; B hodisa – “bu sonning oxirgi raqami nol” ekanini bildirsa, 

B

A \

 va 

AB

hodisalar 

nimani bildiradi?