Kоmpаkt to‘plamlar va fаzоlar

KОMPАKT TO‘PLAMLAR VA FАZОLAR

Bu paragrafdagi o‘rganiladigan masalalar kompakt to‘plamlar va fazolarga bag’ishlangan. Kompakt fazolar juda muhim topologik fazolar sinfi bo‘lib, ular ixtiyoriy ochiq qobig’idan chekli qism qobiq ajratish mumkin bo‘lgan topologik fazolar deb ta’riflanadi. Kompakt fazolar sinfi Yevklid fazolarining barcha yopiq, chegaralangan qism to‘plamlarini o‘z ichiga oladi. Yevklid fazolarining bu qism to‘plamlarida o‘rinli bo‘lgan xossalari ko‘p hollarda barcha kompakt fazolar uchun o‘rinli bo‘ladi.

Asosiy tushunchalar
1.-tа’rif. Bizga ( X , ) topologik fazo, A X qism to‘plam va birorta {A } ochiq to‘plamlar oilasi berilgan bo‘lsin. Berilgan oila uchun munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda {A } oila A to‘plamning ochiq qobig’i deyiladi.

2.-tа’rif. Оchiq qobiq chеkli (sаnоqli ) sondagi to‘plamlardan iborat bo‘lsа, u chеkli (sаnоqli) оchiq qobiq dеb аtаlаdi. Аgаr U  qobiqning har bir elеmеnti V оilаgа tеgishli bo‘lsа, U  оilа V qobiqning qism qobig’i dеyilаdi.

3.-tа’rif. Berilgan A to‘plamning ixtiyoriy ochiq qobig’idan chekli qobiq ajratish mumkin bo‘lsa, A kompakt to‘plam deyiladi.

^4.-tа’rif. Bizga ( X , ) tоpоlоgik fаzо va {U} оchiq to‘plаmlаr оilаsi berilgan bo‘lib, ^{munosabat {U} оilа} ( X , ) ^{bаjаrilsа, tоpоlоgik fazoning} оchiq qobig’i dеyilаdi.

5.-tа’rif. Tоpоlоgik fаzоning оchiq qobiqlаri ^{U} , ^{V}оilаlаr berilgan bo‘lsin. Аgаr har bir mаvjud bo‘lib, ^U ^V munоsаbаt bаjаrilsа, ^{U} qobiq ^{V} qobiqning ichigа jоylаshtirilgаn qobiq dеyilаdi.

Tabiiyki, 3.-ta’rifda agar A X munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda kompakt fazo ta’rifini hosil qilamiz:

-tа’rif. Berilgan tоpоlоgik fаzоning iхtiyoriy оchiq qobig’idаn chеkli qobiq аjrаtish mumkin bo‘lsа, u kоmpаkt fаzо dеyilаdi.

7.-tа’rif. Berilgan tоpоlоgik fаzоning iхtiyoriy sаnоqli оchiq qobig’idаn chеkli qobiq аjrаtish mumkin bo‘lsа, berilgan tоpоlоgik fаzоdа sаnоqli kоmpаktlilik хоssаsi o‘rinli dеyilаdi.

8.-tа’rif. Tоpоlоgik fаzоni sanoqli sondagi kоmpаkt to‘plamlаr yig’indisi sifаtidа yozish mumkin bo‘lsа, u -kоmpаkt fаzо dеyilаdi.

9.-tа’rif. Tоpоlоgik fаzоdа ixtiyoriy kеtmа-kеtlik yaqinlаshuvchi qism kеtmа-kеtlikkа egа bo‘lsа, bu tоpоlоgik fаzо sеkvensiаl kоmpаkt fаzо dеyilаdi.

10.-tа’rif. Berilgan tоpоlоgik fаzоning iхtiyoriy nuqtаsi yopig’i kоmpаkt to‘plаm bo‘lgаn аtrоfgа egа bo‘lsа, bu tоpоlоgik fаzо lоkаl kоmpаkt fаzо dеyilаdi.

11.-tа’rif. Bizga  ^U-to‘plаmlаr оilаsi berilgan bo‘lsin. Berilgan oilagа tеgishli iхtiyoriy chеkli sоndаgi to‘plаmlаr kеsishmаsi bo‘sh bo‘lmаsа,  ^Uоilа mаrkаzlаshgаn оilа dеyilаdi.
Masala yechish namunalari
1-masala. Bizga X , Y topologik fazolar va A X , B Y kompakt to‘plamlar bo‘lsa, A B to’g’ri ko‘paytma ham X Y fazoda kompakt to‘plam bo‘lishini isbotlang.

Yechish. Avval (x, y) x qoida bilan aniqlangan pr : X Y X akslantirish(proeksiya)da yopiq to‘plamning aksi yopiq to‘plam ekanligini ko‘rsatamiz.

Buning uchun F to‘plam X Y ko‘paytmaning yopiq qism to‘plami bo‘lsin deb faraz qilaylik. Bu F to‘plamning obrazi pr (F ) ning X topologik fazoda yopiq to‘plam ekanligini ko‘rsatish uchun uning to‘ldiruvchisi G X \ pr( F ) ning ochiq to‘plam ekanligini ko‘rsatish kerak. Avval olingan F to‘plamdan x₀ G nuqta olamiz. Bu nuqta uchun ( x₀ ,Y ) X Y \ F munosabat bajariladi. X Y \ F ochiq to‘plam ekanligidan ixtiyoriy y Y uchun ( x₀ , y) juftlik birorta U ( x₀ , y) V _y ( x₀ ) V _y atrofi bilan X Y \ F to‘plamda yotadi. Bu yerda V _y ( x₀ ) to‘plam x₀ nuqtaning X topologik fazodagi atrofi bo‘lib, u V _y ( x₀ ) G munosabatni qanoatlantiradi. Demak, G ochiq to‘lpamdir. Bundan esa pr (F ) to‘plamning yopiq to‘plam ekanligi kelib chiqadi.

Endi, agar  ^U oila A B to‘plamning ochiq qobig’i bo‘lsa, undan A B uchun chekli qobiq ajratish mumkinligini isbotlash kerak. Har bir uchun ^{U U U ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda U }^{X U Y ochiq to‘plamlardir.} Birorta x A nuqta uchun {x}B ni qaraylik. {x}B to‘plam B ga gomeomorf bo‘lgani uchun kompakt to‘plamdir. Shuning uchun oiladan {x}B uchun chekli qobiq ajratish mumkin. to`plamlar {x}B uchun dan ajratilgan chekli qobiq bo`lsa, ochiq to`plam bo`lganligi uchun uning

<sup>to`ldiruvchisi</sup> F<sub>x</sub> X Y \ G<sub>x</sub> yopiq to`plamdir. Yuqorida isbotlaganimizga ko‘ra, ^prFx ^{yopiq to`plamdir. A</sup>x <sup>to`plam prF}x ^{to‘plamning to‘ldiruvchisi bo‘lsa, u A}x ^{B G}x ^{munosabatni qanoatlantiradi. Demak,} oila uchun ham qobiqdan ajralgan chekli qobiqdir. Endi {A_x : x A} oila A to‘plam uchun qobiq va A kompakt bo‘lgani uchun undan A uchun chekli qobiq ajratish mumkin. Bu oiladan A uchun ajralgan chekli qobiq to‘plamlardan iborat bo‘lsin. Demak, Biroq, har bir A_xi B uchun dan chekli ^{qobiq ajratish mumkin. Lekin,} bo‘lganligi uchun dan A B uchun ham chekli qobiq ajratish mumkin. Demak, A B kompakt to‘plamdir.

2-masala. Bizga X -Xausdorf fazo va uning kompakt qism to‘plami A X berilgan bo‘lsin. Har bir x X \ A nuqta uchun, shunday ochiq kesishmaydigan G₁ va G₂ to‘plamlar mavjud bo`lib, A G<sub>1</sub> , x G<sub>2</sub> munosabatlar o‘rinli bo`lishini isbotlang.

Yechish. Buning uchun A ga tegishli ixtiyoriy y A nuqtani olsak, Xausdorf aksiomasiga ko`ra shunday ochiq kesishmaydigan G<sub>x</sub> , G<sub>y</sub> to`plamlar mavjudki x G_x , y G_y munosabat o‘rinli bo`ladi. Ma’lumki, {G_y : y A} oila A

to`plam uchun ochiq qobiq bo`ladi va A kompakt bo`lganligi uchun bu oiladan A to`plam uchun chekli qobiq ajratish mumkin. Ajratilgan chekli qobiqqa

tegishli to`plamlar lar bo`lsin deb faraz qilaylik. Bu ochiq to`plamlar bilan kesishmaydigan x nuqtaning atroflari mos ravishda G<sub>x</sub> ( y<sub>1</sub> ), G<sub>x</sub> ( y<sub>2</sub> ), G<sub>x</sub> ( y<sub>3</sub> ),...,G<sub>x</sub> ( y<sub>m</sub> ) to`plamlardan iborat bo`lsin. Agar tengliklar o‘rinli bo`lsa, bu tengliklardan ushbu munosabatlar A G₁ , x G₂ va G₁ G₂  bajarilishini osongina kelib chiqarish mumkin.