Лекция №3 Уравнения в полных дифференциалах. Вопросы

Лекция №3

7. Уравнения в полных дифференциалах.
Вопросы:
1. Понятие дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие того, что уравнение является уравнениям в полных дифференциалах.
2. Уравнения, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Частные случаи нахождения интегрирующего множителя.
3. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Запишем уравнение в дифференциальной форме
. (1)
Если левая часть уравнения (1) является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.
,
то уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах.
Так как уравнение в полных дифференциалах можно записать в виде
,
то его общим интегралом будет
.
В общем случае определить является ли дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах трудно. Укажем признак, позволяющий ответить на этот вопрос, а также один из способов нахождения функции .
Предположим, что в уравнении (1) функции и непрерывны в некоторой односвязной области G, например, в прямоугольнике с центром в заданной точке , и не обращаются одновременно в нуль в этой точке. Кроме того, предположим, что в области G существуют непрерывные частные производные и .
Теорема. Для того чтобы при сделанных предположениях относительно функций и уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области G выполнялось тождество
. (2)
Доказательство. Докажем необходимость условия (2). Пусть уравнение (1) – уравнение в полных дифференциалах. Тогда
,
так что
, . (3)
Дифференцируя тождества (3) соответственно по у и по х, получим
, .
Но в силу непрерывности частных производных и правые части тождеств равны по теореме Шварца о смешенных производных, а, следовательно, равны и левые части, т.е. имеет место тождество (2).
Докажем теперь достаточность условия (2). Пусть это условие выполнено. Покажем, что тогда можно найти такую функцию , чтобы выполнялось равенство , или равносильные ему тождества (3).
Выберем сначала функцию так, чтобы она удовлетворяла первому из условий (3). Т.е. в качестве функции можно выбрать
, (4)
где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция от у.
Определим функцию так, чтобы функция удовлетворяла и второму условию из (3), т.е. чтобы частная производная по у от функции, стоящей в правой части формулы (4), была тождественно равна функции . Для этого достаточно потребовать, чтобы удовлетворяла условию
.
Заметим, что
.
Поэтому

или
,
откуда
.
Подставляя найденное значение в формулу (4), получим искомую функцию в виде
.
Теорема доказана.
Подставляя найденную функцию в формулу и полагая , получим общий интеграл уравнения (1) в виде
. (5)