Limitlar haqida asosiy teoremalar

Limitlar haqida asosiy teoremalar.
1-Teorema. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng.

Isboti: Isbotni ikki qo‘shiluvchi uchun keltiramiz, qo‘shiluvchilar soni har qancha bo‘lganda ham isbot o‘z kuchida qoladi.
Aytaylik, bo‘lsin. U holda 4.2.8 mavzudagi 1-teoremaga asosan lar cheksiz kichik miqdorlar. Demak, ; -o'zgarmas miqdor, esa cheksiz kichik miqdor.

Misol:

2-Teorema. Chekli sondagi funksiyalar ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng.

Isboti:

bo‘lsin. ko‘paytma o‘zgarmas miqdor.
Demak,
Natija: o‘zgarmas ko‘paytuvchini limit ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin. Agar , c –o‘zgarmas. limc =c,

3-Teorema. Ikkita funksiya bo‘linmasining limiti, maxraj limiti noldan farqli bo‘lsa, bu funksiyalar limitlarining bo‘linmasiga teng.
Agar bo‘lsa,
Isboti:

Demak, U=a+α , V=b+β , bu yerda α va β cheksiz kichik miqdorlar.

4-Teorema (teorema isbotsiz keltiriladi) Agar uchta f₁(x), f₂(x) va funksiyalarning qiymatlari orasida ) tengsizliklar bajarilsa, bunda da (yoki da) f₁(x), va f₂(x) birgina b limitga intilsa, u holda da (yoki da) ham shu limitga intiladi, ya’ni bo‘ladi.
Bu teorema oraliq funksiyaning limiti haqida teorema deyiladi.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.