Маъруза 5 Мавзу: Текис тупламларнинг улчови


Download 90.27 Kb.
bet1/3
Sana28.04.2020
Hajmi90.27 Kb.
  1   2   3

Маъруза 5
Мавзу: Текис тупламларнинг улчови.


Режа:

1. Элементар тупламларнинг улчови.

2. Текис тупламларни Лебег улчови.

3. Баъзи кушимча ва умумлаштиришлар.
А тупламнинг (А) улчови тушунчаси куйидаги тушунчаларни тугридан тугри умумлашмасидир.

кесманинг l() узунлигини;

F фигуранинг S(A) юзини;

G жисмнинг V(G) хажмини;

[a, b)-ярим интервалдаги камаювчи (t) функциясининг (b)-(a)орттирмасини;

Манфиймас функциянинг бирор чизикли текис, ёки фазовий сохасидаги интеграли ва хоказолар.

Текисликда координаталири (х, у) лар булиб, ушбу тенгсизликлардан бирор жуфтлигини каноатлантирувчи G-тупламлар системасини караймиз.

a x b, a x < b, a < x b, a < x < b,

c y d, c y < d, c < y d. c < y < d

Бу системага кирувчи тупламларни тугри туртбурчаклар деймиз. Текисликдаги барча тугри туртбурчаклар тупламини G билан белгилаймиз. Хар бир тугри туртбурчак учун элементар геометриядан маълум юза тушунчасига кура унинг юзини куйидагича аниклаймиз.

А) Буш тупламнинг юзи нолга тенг.

В) Очик, ярим очик, ярим ёпик, ёпик тугри туртбурчакларнинг юзи (b-a)(d-c) га тенг.

Шундай килиб, текисликдаги барча тугри туртбурчакларни юзини аникладик. Демак, текисликдаги ихтиёрий Р тугри туртбурчакга унинг улчови m(P) мос куйилди ва у куйидаги хоссаларга эга.

10. m(P) улчов хакикий номанфий кийматларни кабул килади.

20. m(P) улчов аддитив, яъни агар булади.

Бизнинг максадимиз шу 10, 20хоссаларни саклаган холда тугри туртбурчаклар учун аникланган улчовни бошка умумийрок тупламларга таркатишдир.

Буни аввало элементар тупламлар учун киламиз.

Таъриф. Агар бирор тупламни хеч булмаганда битта усул билан чекли сондаги узаро кесишмайдиган тугри туртбурчаклар йигиндиси куринишида ёзиш мумкин булса бундай тупламни элементар туплам дейилади.

Теорема 1. Элементар тупламларнинг йигиндиси, кесишмаси, айримаси ва симметрик айримаси яна элементар туплам булади.

Исботи: Иккита тугри туртбурчакнинг (бизнинг маънодаги) кесишмаси яна тугри туртбурчак булиши равшан. Шунинг учун агар элементар тупламлар булса, у холда уларнинг кесишмаси элементар туплам булади. Худди шунингдек икки тугри туртбурчакларнинг айримаси хам элементар туплам булади. Энди А ва В элементар тупламлар булса, уларни кесишмасини уз ичига олувчи Р тугри туртбурчак мавжудлигини куриш кийин эмас. У холда АВР/[(Р/А)(Р/В)] булади. Бу эса АВ элементар туплам деганидир. Бундан ва А/ВА(Р/В) тенглигидан хамда АВВ)/(АВ) га кура АВ ни элементар тупламлиги келиб чикади.

Элементар тупламнинг улчови m’(A) ни куйидагича аниклаймиз. Агар Pi лар узаро кесишмайдиган тугри туртбурчаклар ва булса деймиз. m’(A) ни А элементар тупламни чекли тугри туртбурчаклар йигиндисига боглик эмаслигини исботлаймиз.

булсин. Бу ерда РiPk, QiQk, ik. РkQk тугри туртбурчаклар кесишмаси яна тугри туртбурчаклар булганлиги учун ва улчовнинг тугри туртбурчаклар учун аддитивлигига кура . Бундан куринадики элементар тупламлар учун аникланган улчов аддитив улчов экан.

Теорема 2. Агар А элементар туплам булиб, {An} система Аn элементар тупламларнинг чекли ёки санокли системаси ва булса, у холда булади.

Исботи: Берилган А туплам ва >0 учун шундай А’ ёпик элементар туплам мавжудки у А да ётади ва

m’(A’)m’(A)-0, 5 шартни каноатлантиради. Сунгра An учун шундай очик элементар An ни уз ичига олувчи ва шартни каноатлантирувчи туплам топиш мумкин. эканлиги равшан. Гейнс-Борель леммасига кура ни копловчи чекли коплама ажратиб олиш мумкин. Бунда эканлиги равшан. Шунинг учун, . Бундан ва нинг ихтиёрийлигидан
Download 90.27 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling