Mavzu : Stirling formulasi. Eylerning beta funksiyasi. Dirixle integrali Stirling formulasi

Mavzu : Stirling formulasi.Eylerning beta funksiyasi. Dirixle integrali
Stirling formulasi. Eylerning gamma funksiyasi tadbiqlarida uning dagi holatini bilish muhimdir. Bunga quyidagi teorema javob beradi.
1-teorema(Stirling formulasi).Agar va
bо‘lsa, ushbu

formula о‘rinli. Bu yerda simvoldagi о‘zgarmasning qiymati faqat ga bog‘liq.
Isboti. funksiyaning ta’rifiga kо‘ra

va bundan

natural son bо‘lganda quyidagi ikkita yig‘indilarni qaraymiz:


Bu yig‘indilarning har biriga quyidagi Eyler- Makloren formulasini qо‘llaymiz.
(Teorema (Eyler- Makloren). kesmada uzluksiz ikki marta differensiallanuvchi funksiya; lar mos ravishda

tengliklar bilan aniqlanagan funksiyalar bо‘lsinlar, u holda

tenglik о‘rinli. Kо‘pincha bu formulaning soddaroq kо‘rinishi qо‘llaniladi:
,
bunda kesmada uzluksiz differensiallanuvchi funksiya
bо‘lishi talab etiladi.)
U holda quyidagilarga ega bо‘lamiz:

1. 
   dan va uchun hosil qilingan yuqoridagi formulalardan
   

(2)
bu yerda absolyut doimiy,

Endi integralni baholaymiz:

bajarilgani uchun (2) dan
(3)
kelib chiqadi. (3) formulada deb olib ikkilash formulasidan va ekanligidan foydalansak, da ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bо‘ldi.
1-natija. funksiya birinchi tartibli butun funksiyadir.
2-natija. Agar bо‘lsa, da

tenglik о‘rinli. Bu yerda O belgidagi doimiyning qiymati faqat larga bog‘liq.
(3) ning ikkala tomonini differensiallab о‘uyidagiga ega bо‘lamiz.
3-natija. Agar bо‘lsa,

tenglik о‘rinli.
Eylerning beta funksiyasi.
Eylerning gamma funksiyasi uning beta funksiyasi va Dirixle integrali bilan chambarchas bog‘langan.
Ta’rif. Eylerning beta funksiyasi bо‘lganda

tenglik bilan aniqlanadi.
Endi quyidagi lemmani isbitlaymiz:
Lemma. Ushbu

tenglik о‘rinli.
Isboti. Umumiylikni chegaralamagan holda deb hisoblashimiz mumkin. Agar bо‘lsa,

agar bо‘lsa,

bо‘ladi va bu yerdagi O simvoldagi doimiy faqat ga bog‘liq.
Faraz etaylik bо‘lsin, u holda

Bu munosabatlarni kо‘paytirib quyidagiga ega bо‘lamiz:

yoki

deb belgilab olsak
(*)
ni hosil qilamiz.Ichki integraldi о‘zgaruvchilarni almashtiramiz:
u holda va bо‘ladi. Shuning uchun ham

bunda

Bu yerda ham ichki integralda о‘zgaruvchilarini almashtiramiz: bо‘ladi. Bularni inobatga olib

ni hosil qilamiz. Bu yerda

va

Bundan tashqari bо‘lganda

bajariladi. Shuning uchun ham

tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda

bо‘lganidan (*) dan
=
ga ega bо‘lamiz.Bu tenglikning ikkkala tomonidan da limitga о‘tib lemmadagi tenglikni hosil qilamiz.
Teorema. Agar uzluksiz funksiya va

bо‘lsa, u holda

bо‘ladi.
Isboti. deb belgilash kiritamiz va quyidagi integralni qaraymiz:

da deb almashtirish olamiz, keyin esa integrallash tartibini о‘zgartiramiz va quyidagini hosil qilamiz:


О‘ng tomondagi ichki integralda deb almashtirish olamiz. U holda

Bu yerdan uchun quyidagi formulaga ega bо‘lamiz


Bu yerdan teoremadagi tasdiq kelib chiqadi.
Bu teoremadagi integralga Dirixle integrali deyiladi.