Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishning sonli usullari


Download 99.59 Kb.
bet1/3
Sana16.06.2023
Hajmi99.59 Kb.
#1510974
  1   2   3
Bog'liq
AbdirashidovA.BabayarovA.I.Hisoblashusullari1-qism2018


3-BOB.
NOCHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING
SONLI USULLARI
Kalit so‘zlar: nochiziqli tenglamalar sistemasi; Nyuton, Nyuton-Rafson, oddiy iteratsiyalar, Zeydel, parametrlarni qo‘zg‘atish, Pikar iteratsiyalari, tezkor tushish, Broyden usullari.

  1. Dastlabki tushunchalar

Ko‘plab amaliy masalalar nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Umumiy holda n noma’limli n ta nochiziqli algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:
/1(x1,x2, xw) = 0 f2(xi,x2, *„) = 0
(3.1)
f„{xx,x2, xn) = 0
Ushbu (3.1) sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
f
(3.1')
fnf-


3.1-rasm. Ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasining fazoviy tasviri.
(x) = 0.

bu yerda x = (x\, x
2
,
..., x„)
T
- argumentlaming vektor ustuni; f = funksiyalarning vektor ustuni; (...)T - transponirlash operatsiyasi belgisi. Bu sistema yechimini topishni geometrik talqinda

  1. rasmdagi ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasining fazoviy tas- viri misolida tushuntirish mumkin.

Nochiziqli tenglamalar sistemasi yechimini izlash - bu bitta nochiziqli tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo‘llanilgan usullarni nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirishjuda ko‘p hi- soblashlarni talab qiladi yoki uni ama­liyotda qo‘llab bo‘lmaydi. Xususan, bu oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan, nochiziqli tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini nochiziqli tenglamalar siste­masini yechishga umumlashtirish mumkin.

  1. Nyuton usuli

(3.1') tenglamalar sistemasini yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, (3.1') vektor tenglamaning izolyatsiyalangan x = (x1, x2, ..., xn) ildizlaridan bittasi bo‘lgan ushbu k -inchi yaqinlashish

(x (k) x (k) x (k)' \x1 , x2 ,..., xn t
t
(k
)

opilgan bo‘lsin. U holda (3.1 ) vektor tenglamaning aniq ildizini ushbu

x = x(k) + 8(k), (3.2)
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda 8(k) = {s^,^ ,...,£nk) - xatolikni tuzatu- vchi had (ildizning xatoligi).
(3.2) ifodani (3.1 ) ga qo‘yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
f (x(k) + 8( k) )= 0. (3.3)
Faraz qilaylik, f(x) - bu x va x(h) larni o‘z ichiga olgan biror qovariq D sohada
uzluksiz differensiallanuvchan funlsiya bo‘lsin. (3.3) tenglamaning o‘ng tarafini £(k)

  • kichik vektor darajalari bo‘yicha qatorga yoyamiz va bu qatorning chiziqli hadlari bilangina cheklanamiz:

f (x(k) + 8<« )= f (x(k))+ f '{x(k) )^(k) = 0. (3.4)

  1. formuladan kelib chiqadiki, f'(x) hosila deb x1?x2, xn - o‘zgaruvchilarga nisbatan f\, f2, fn - funksiyalar sistemasining quyidagi Yakob matritsasi tushuniladi:

" З/1 З/1


3x1 3x2
^/2 /_

3x1 3x2
3/n 3fn
3x1 3x

3x
n
/_
3xn
/_
3x

2


3xy


f ' (x) = W(x) =

yoki uni qisqacha vektor shaklida yozsak,
f ' (x) = W(x) =



  1. sistema bu xatolikni tuzatuvchi had £■k} (i = 1,n) larga nisbatan W(x) matritsali chiziqli sistema. Bundan (3.4) formulani quyidagicha yozish mumkin:

f (x(k))+ w(x(k) \(k) = 0.
Bu yerdan, w (x(k)) - maxsus bo‘lmagan matritsa deb faraz qilib, quyidagiga ega


bo‘lamiz:

Natijada ushbu

{x(
k)f {x(k))

(k)
- _W-1

-W
-1(x

8

(x(
k) )f {x(k)),

x
(k+1) = x(k)

W
-1|x

A: = 0
,1,2, ...

(3.5)




Nyuton usuli formulasiga kelamiz, bunda x(0) - nolinchi yaqinlashish sifatida izla- nayotgan ildizning qo‘pol qiymatini olish mumkin.
Amaliyotda (3.Г ) nochiziqli tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish uchun hisoblashlar (3.5) formula bo‘yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi:


x
(3.6)

< £

(k+1) - x(k)


Yuqoridagilardan kelib chiqib, Nyuton usulin- ing algoritmini quyidagicha yozamiz:

  1. x(0) - boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.

  2. Ildizning qiymati (3.5) formula bo‘yicha aniqlashtiriladi.

  3. Agar (3.6) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va x(fc+1) - (3.Г ) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 2-qadamga o‘tiladi.

Hisoblashlarda (3.Г ) nochiziqli tenglamalar sistemasining f(x) funksiyalari va ularning hosilalari matritsasi W(x) aniq berilgan geymiz, u holda bu sistemani yechishning blok-sxemasi 3.2-rasmdagi ko‘rinishda bo‘ladi.
f(x) vektor-funksiya x ildizi atrofida ikki mar- tagacha uzluksiz differensiallanuvchi, Yakob matrit­sasi W(x) maxsus bo‘lmagan (aynimagan), ko‘p o‘lchovli Nyuton usuli kvadratik yaqinlashishga ega:






    1. rasm. Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usu- lining algoritmi.


2

x
(k) - x



x
(k+1) - x



Shuni ta’kidlaymizki, usulning yaqinlashishini ta’minlash uchun boshlang‘ich yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalar sonining oshishi va ularning murakkabligi ortishi bilan yaqinlashish sohasi torayib boradi.
Xususiy hol. Hisoblash amaliyotida n=2 bo‘lgan hol ko‘p uchraydi. Buni, masa­lan, fz)=0 nochiziqli tenglamaning kompleks ildizlarini topishda ham ko‘rish mum- kin. Haqiqatan ham, agar ushbu
fi ^ y) = Re(f (x+./y)) va f2(x, y) = Im(f (x + jy)) funksiyalarni kiritsak, z - kompleks ildizning x - haqiqiy qismi va y - mavhum qismi quyidagi ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishdan hosil bo‘ladi:
fi( xy)=0; (37)

  1. f2 (x, y) = 0, ( . )


bu taqribiy hisoblashni Nyuton usuli yordamida £
aniqlik bilan bajaraylik.
D sohaga tegishli X0 = (x°,y0) - nolinchi yaqinlashishni tanlab olamiz. (3.4) dan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:

S/1(x - x0) + °
/1(У - У0) = -f\(.Xo,У0); ox ОУ

Download 99.59 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling