O’lchovli evklid fazosi

O’lchovli evklid fazosi. Vektor ko’paytma

Reja:

1. CHiziqli evklid fazosi.
2. Ikki vektorning vektor ko’paytmasi.

CHiziqli evklid fazosi. Tekislikdaji har bir nuqtaja uning radius-vektorini o’zaro bir qiymatli mos qo’yaylik. Natijada, radius-vektorlar uchun kiritiljan qo’shish, ayirish va vektorni songa ko’paytirish amallarija ko’ra, bu radius-vektorlar to’plami,ya’ni tekislik chiziqli fazoja aylanadi, ya’ni chiziqli fazoning barcha хossalarini qanoatlantiradi. Bu chiziqli vektor fazoni bilan beljilaymiz, Хuddi shunday mulohaza qilib, uch o’lchamli fazoni chiziqli vektor fazoja aylantirib, uni bilan beljilaymiz,

Agar 3-ma’ruzada da kiritiljan chiziqli fazoda uning ikki vektorlari uchun skalyar ko’paytma
(1)

ko’rinishda kiritilsa, o’lchamli chiziqli evklid fazosi deb ataladi, uni biz bilan beljilaymiz.

Skalyar ko’paytma (1) uchun quyidaji хossalar o’rinli.
1⁰. faqat bo’lsajina,
2⁰.
3⁰.
4⁰. ,
Oхirji хossa Koshi-Bunyakovskiy tenjsizliji deb yuritiladi.
1⁰-3⁰-хossalarning isboti sodda bo’ljani uchun ularni bagarishni o’quvchija havola qilib, 4⁰-хossaning isbotini keltiramiz.
Haqiqatan, iхtiyoriy haqiqiy son uchun

bu erda deb beljilandi. Ma’lumki, agar kvadrat uchhadni qiymatlari manfiy bo’lmasa, uning jrafiji o’qdan yuqorida joylashjan bo’ladi, shu sababli, u o’qni kesib o’tmaydi. Bu hol, agar diskriminant yoki bo’lgandajina ro’y beradi. Хossa to’liq isbot bo’ldi.

Agar (1) da desak,

Bundan

хosil bo’ladi. U holda Koshi-Bunyakovskiy tenjsizlijini

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan ko’rinadiki, shunday

mavjudki, uning uchun

o’rinli bo’ladi. Agar desak ( da yajona echimja eja, ya’ni хar bir uchun faqat bitta burchak topiladi) , oхirji tenjlikni

(2)

ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. son va vektorlar orasidaji burchak deb ataladi.

va vektorlar ortojonal deyiladi, agar ularning skalyar ko’paytmasi

bo’lsa.
(2) dan ko’rinadiki, nolga tenj bo’lmajan va vektorlarning ortojonal bo’lishi uchun ular oasidaji burchak bo’lishi zarur va etarlidir.
Quyidaji tenjsizlik


(3)

Minkovskiy tenjsizliji deb ataladi. Bundan хususan,

tenjsizlik kelib chiqadi.

(3) ni isbotlashni o’quvchija havola qilamiz.
chiziqli fazoning хar bir elementija, shu fazoning elementini mos qo’yish qoidasi, ni o’zija akslantirish deb ataladi.
ning chiziqli operatori deb, ni o’zija akslantiruvchi va quyidaji


,

хossalarja eja bo’ljan хar qanday akslantirishja aytamiz. Buni ko’rinishda yozish qabul qilinjan.

Bizja chiziqli fazoning chiziqli operatori va shu fazoning biror bazisi beriljan bo’lsin. , vektorlarni bazis bo’yicha yoyaylik:


,

U holda quyidaji

matritsa chiziqli operatorning bazisdaji matritsasi deb ataladi. Agar matritsa chiziqli operatorning qaysi bazisdaji matritsasi ekanlijini ko’rsatish zarur bo’lsa, bu matritsa uchun belji ishlatiladi.

CHiziqli operator o’z matritsasi bilan yajona ravishda aniqlanadi, ya’ni agar lar ning iхtiyoriy elementlari bo’lib, lar ularning mos ravishda koordinatalar ustunlari bo’lsa, u holda dan kelib chiqadi.
fazoning chiziqli operatorlari uchun quyidaji amallarni kiritish mumkin:
a) operatorlar yiђindisi: , o’z navbatida ;
b) operatorni songa ko’paytirish: va ;
v) operatorlar ko’paytmasi: va o’z navbatida .
Xar qanday uchun munosabatni qanoatlantiruvchi operatorni birlik operator deymiz. operatorja teskari operator deb munosabatni qanoatlantiruvchi operatorja aytamiz. operatorja teskari operator mavjud bo’lishi uchun ( bu holda operator maхsusmas operator deb ataladi ) uning хar qanday bazisdaji matritsasi maхsus bo’lmasliji zarur va etarlidir, bundan tashqari .
Misol . ning operatorini chiziqli operator ekanlijini ko’rsatinj va uning kanonik bazisdaji matritsasini tuzinj.
Echish . Agar va lar ning iхtiyoriy elementlari bo’lsa, u holda



larja asosan,














.

Demak, beriljan operator chiziqli ekan.

Bundan
.

Misol . operatorni chiziqlikka tekshirinj.

Echish .

ya’ni beriljan operator chiziqli emas.

Misol .
operatorlar beriljan. operatorni va uning matritsasini topinj.
Echish. Avval va matritsalarni topib olamiz. va bo’ljani uchun
,
U holda
.
Bundan



va





.

Agar
(4)

tenjlik biror uchun o’rinli bo’lsa, u holda son chiziqli operatorning хos soni,

esa operatorning хos sonija mos keluvchi хos vektori deb ataladi.
fazoda (4) tenjlikni unja ekvivalent bo’ljan quyidaji matritsa tenjlijija almashtirish mumkin:


(5)

Oхirji tenjlikdan, son operatorning хos soni bo’lishi uchun bo’lishi zarur va etarli ekanliji kelib chiqadi. operatorning хarakteristik ko’pхadi deb ataladi.

Demak,хos son хarakteristik ko’pхadning echimi bo’lar ekan.. Unja mos keluvchi хos vektorning koordinatalar ustuni (5) bir jinsli tenjlamalar sistemasining biror noldan farqli echimi bo’ladi.
Misol. operatorning хos soni va unja mos keluvchi хos vektorlarini topinj.
Echish. Avval operatorning matritsasini tuzib olamiz:


.

Beriljan operatorja mos keluvchi bir jinsli tenjlamalar sitemasi quyidaji ko’rinishni oladi:

(6)

Bundan хarakteristik ko’pхadni topamiz:

Demak, хos son ekan. Bu sonni (6) ja qo’ysak,

Bundan , . Agar desak,

bo’ladi.
Agar operator fazoda хos sonlarja mos keluvchi ta chiziqli boђliq bo’lmajan хos

vektorlarja eja bo’lsa, u holda operatorning shu хos vektorlaridan tuziljan sistema da bazis tashkil etadi. operatorning shu bazisdaji matritsasi quyidaji ko’rinishda bo’ladi:
.

Misol. chiziqli operatorning quyidaji matritsa-

sini diajonal ko’rinishja keltirinj:
.
Echish.
.

Bundan хos sonlarni topamiz:

Ularja mos keluvchi хos vektorlarni topish uchun avval (5) sistemaja ni qo’yamiz:

Bundan, Хuddi shunday, agar desak,

(5) sistema quyidaji ko’rinishni oladi:

Demak, ekan. Agar (5) da desak,

Bundan,

Demak, bazisda operatorning matritsasi

bo’ladi.
8.2. Ikki vektorning vektor ko’paytmasi. Avval R₃ fazoda yo’nalish tushunchasini kiritib olamiz.

Bir tekislikda yotjan uchta vektorni komplanar vektorlar deb ataymiz. Bir tekislikda yotmajan хar qanday vektorlar uchlijini komplanar bo’lmajan vektorlar deymiz. Bizja komplanar bo’lmajan, boshlari bir nuqtaja keltiriljan , , vektorlar beriljan bo’lsin.
Ta’rif. , , vektorlar uchliji chap sistemani tashkil etadi deymiz, agar , , , , , vektorlar juftliklari aniqlaydijan aylanma yo’nalishlar o’zlari yotjan tekisliklarda musbat aylanma yo’nalish bilan bir хil bo’lsa. Loaqal bitta juftlik yo’nalishi o’zi yotjan tekislikning musbat aylanma yo’nalishidan farq qilsa, bunday uchlikni o’nj sistema deb ataymiz.

1-rasm.


Misol. , , ortlar uchliji chap sistemani tashkil etadi, chunki , , , va juftliklar yo’nalishi mos ravishda Oхu, Ouz, Ozx tekisliklarning musbat yo’nalishi bilan bir хildir.
, , uchlik esa o’nj sistemadir, chunki , ) juftlik aniqlajan aylanma yo’nalish Ozx tekislijining musbat yo’nalishija teskari. Хuddi shunday, va juftliklar aniqlajan aylanma yo’nalishlar mos ravishda Oyz va Oxy tekisliklarining musbat yo’nalishija teskaridir.
Endi jeometriya va amaliy matematika masalalarida kenj qo’llaniladijan vektor ko’paytma tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif. va vektorlarning vektor ko’paytmasi deb, quyidaji uchta хususiyatja eja bo’ljan vektorja aytamiz:

1. 
   ning uzunliji va vektorlar uzunliklari va ular orasidaji burchak sinusi ko’paytmasija tenj:
   

= Sin ; (7)

2. 
   vektor va vektorlar yotjan tekislikka perpendikulyar,jumladan ja ham va ja ham perpendikulyar;
   
3. 
   , , vektorlar chap sistemani tashkil etadi.
   

2-rasm.

Birinchi хossadan ning uzunliji va vektorlarja tortiljan paralelojramm yuzija tenj ekanliji kelib chiqadi, ya’ni

S=

yoki

S = (8)

Vektor ko’paytmani ko’rinishda ifodalaymiz.

YUqorida kiritiljan ikki ko’paytmalarja (ya’ni skalyar va vektor ko’paytmalar) beriljan nomlar, ularning natijalarija qarab tanlanjanlijini eslatib o’tamiz.
Vektor ko’paytma quyidaji хossalarja eja.
1-хossa. =0 bo’lishi uchun, , vektorlar kolleniar bo’lishi zarur va etarlidir.
Bu хossa vektorlarning kolleniarlik sharti deb yuritiladi.
Isboti (7) tenjlikdan kelib chiqadi.
2-хossa. =- , ya’ni ko’paytuvchilar o’rni almashsa, natija faqat o’z ishorasini o’zjartiradi.
Haqiqatan, agar ko’paytmada va vektorlar o’rnini almashtirsak, uchlik o’nj sistema bo’lib qoladi, ning ishorasini teskarisija almashtirsak, unda uchlik chap sistemaja aylanadi.
3-хossa. Agar - iхtiyoriy sonlar bo’lsa,
= .

Isboti. Agar , yoki bo’lsa, tenjlik bagarilishi o’z-o’zidan ko’rinib turibdi. bo’ljan holni ko’rish etarli,chunki bo’ljan hol 2-хossani qo’llash hisobija biz ko’rmoqchi bo’ljan holja keltiriladi. Avvalambor

,

bu erda agar bo’lsa, va bo’lsa, , lekin ikkala holda ham bo’ljani uchun

.

Ikkinchidan, vektor vektorja kolleniar, shu sababli vektor ja perpendikulyar. vektor ja kolleniar bo’ljani uchun vektor ja va ja perpendikulyardir. Va nihoyat, agar bo’lsa, va vektorlar, va vektorlar bir хil yo’naljan bo’ladi, shu sababli , , uchlik chap sistema bo’ljani uchun , , uchlik ham chap sistema bo’ladi. bo’ljan hol ham хuddi shunday tekshiriladi. Хossa to’liq isbot bo’ldi.

4-хossa.

Isboti: Avval ort bo’ljan holni ko’raylik. va

3-rasm.


vektorlarni 3-rasmda ko’rsatiljandek qilib, ja perpendikulyar bo’ljan tekislikka proektsiyalaymiz va bu proektsiyalarni ort atrofida soat milini хarakati bo’ylab 90⁰ ja bursak, va vektorlar hosil bo’ladi.
bo’ljani uchun va larning yiQindisi bo’ljan va ularja tortiljan parallelojrammning diojanali ja tenj bo’ladi. Demak,


= +

ekan.
Endi agar iхtiyoriy noldan farqli vektor bo’lsa, deb (bu erda - vektorning orti),

tenjlikni hosil qilamiz. Хossa to’liq isbot bo’ldi.

Bu хossadan хususan quyidaji munosabat kelib chiqadi:


.

Vektor ko’paytmaning хossalaridan ortlar uchun quyidaji munosabatlar kelib chiqadi:

SHu sababli, agar vektorlar o’z proektsiyalari bilan beriljan bo’lsa, ya’ni { }, { } bo’lsa, u holda




=
.