Решение задач по высшей математике на заказ идз 2


Download 263.33 Kb.
Pdf ko'rish
Sana11.06.2020
Hajmi263.33 Kb.
TuriРешение

Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 



https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 



Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   


 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

 

 

 

 

 

      ИДЗ 1.2 – Вариант 0 

 

1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по 

формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса. 

 

1.0    











2

x



2

x

3



x

2

x



x

4

1



x

x

4



x

3

3



1

3

2



1

3

2



1

 

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капели. С помощью элементарных 

преобразований найдем ранг матрицы 

 

 











2

0

1



2

1

4



1

4

3



A

 

данной системы и ранг расширенной матрицы 



 

 











2

3



1

2

0



1

2

1



4

1

4



3

B

 



Разделим первую строку на 3. Умножим первую строку на -4 и сложим со второй, первую умножим на -

1 и сложим с третьей. Разделим вторую строку на 19/3. Умножим вторую строку на (-4/3) и сложим с 

третьей строкой 

 





























































57

153


19

5

3



1

57

87



0

0

19



2

1

0



3

1

3



4

1

~



3

7

19



5

3

1



3

5

3



4

0

19



2

1

0



3

1

3



4

1

~



3

7

3



5

3

1



3

5

3



4

0

3



2

3

19



0

3

1



3

4

1



~

2

3



3

1

2



0

1

2



1

4

3



1

3

4



1

~

2



3

1

2



0

1

2



1

4

1



4

3

B



 

Следовательно, 

3

rangB


rangA



 (т.е. числу неизвестных). Значит исходная матрица совместна и имеет 

единственное решение. 

 

а) по формулам Крамера 

Найдем определитель

 по правилу треугольника: 



11



32

23

33



21

12

31



22

13

13



32

21

31



23

12

33



22

11

33



32

31

23



22

21

13



12

11

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a













 

Найдем определитель

 и значения 



1

x



,

2

x



,

3



x

 





29

32



0

1

0



8

6

2



4

)

4



(

0

2



3

1

1



1

0

4



1

1

2



)

4

(



2

1

3



2

0

1



2

1

4



1

4

3























 



44

24

0



2

0

16



2

2

0



2

2

1



3

1

4



1

x

1











 



13



8

12

3



8

2

18



2

2

1



2

3

4



1

1

3



x

2











 


Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 



https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 



Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   


 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 





51

32

0



1

0

12



6

2

0



1

3

1



4

1

4



3

x

3











 

Формулы Крамера 



29

51

x



29

13

x



29

44

x



x

x

x



x

x

x



3

2

1



3

3

2



2

1

1











 



б) с помощью обратной матрицы (матричным методом) 

Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в 

матричной форме 

B

AX



. Решение системы в матричной форме имеет вид 

B

A

x



1



 По формуле 









33



23

13

32



22

12

31



21

11

1



A

A

A



A

A

A



A

A

A



A

1

A



 находим обратную матрицу 

1

A



 (она существует, так как 

0

29

A





 



Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы: 

 


 

 


 

 


 

4

)



4

0

(



0

1

4



3

1

A



1

1

0



0

1

1



4

1

A



5

1

6



2

1

1



3

1

A



6

)

2



8

(

2



1

2

4



1

A

8



)

0

8



(

2

0



1

4

1



A

2

0



2

2

0



2

1

1



A

5

23



4

13

4



22

3

12



3

21

2



11































 

 



 

 


19

16

3



1

4

4



3

1

A



2

)

4



6

(

2



4

1

3



1

A

9



1

8

2



1

1

4



1

A

6



33

5

32



4

31

















 



Таким образом получаем матрицу: 











19

2



9

4

5



8

1

6



2

 

Полученную матрицу транспонируем: 























19

4



1

2

5



6

9

8



2

19

2



9

4

5



8

1

6



2

T

 



Тогда решение системы: 



































































29

51



29

13

29



44

51

13



44

29

1



2

19

)



3

(

)



4

(

)



1

(

1



2

)

2



(

)

3



(

5

)



1

(

6



2

)

9



(

)

3



(

8

)



1

(

2



29

1

2



3

1

19



4

1

2



5

6

9



8

2

29



1

x

x



x

X

3



2

1

 



Итак,   

29

51



x

29

13



x

29

44



x

3

2



1





 

 

 



Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 



https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 



Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   


 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

в) методом Гаусса 











2

x



2

x

3



x

2

x



x

4

1



x

x

4



x

3

3



1

3

2



1

3

2



1

 

Напишем матрицу системы: 











2

3



1

2

0



1

2

1



4

1

4



3

 

Тогда 































































57

153


19

5

3



1

57

87



0

0

19



2

1

0



3

1

3



4

1

~



~

II

3



4

III


3

7

19



5

3

1



3

5

3



4

0

19



2

1

0



3

1

3



4

1

~



3

19

/



3

7

3



5

3

1



3

5

3



4

0

3



2

3

19



0

3

1



3

4

1



~

I

III



I

4

II



2

3

3



1

2

0



1

2

1



4

3

1



3

4

1



~

3

/



2

3

1



2

0

1



2

1

4



1

4

3



 

Выпишем систему уравнений: 















57

153



x

57

87



19

5

x



19

2

x



3

1

x



3

1

x



3

4

x



3

3

2



3

2

1



 

Находим значения x

1

, x


2

, x


3

 

29



44

87

132



87

51

52



29

29

17



87

52

3



1

x

3



1

29

51



3

1

29



13

3

4



x

29

13



551

247


551

102


145

551


102

19

5



x

19

5



29

51

19



2

x

29



51

87

57



57

153


x

1

1



2

2

3































 



Итак, 

29

51



x

29

13



x

29

44



x

3

2



1





 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 



https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 



Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   


 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

 

 



2. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по 

формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса. 

 

2.0    











2

x

x



4

x

3



5

x

4



x

x

2



4

x

3



x

5

x



3

2

1



3

2

1



3

2

1



 

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капели. С помощью элементарных 

преобразований найдем ранг матрицы 

 

 











1

4



3

4

1



2

3

5



1

A

 



данной системы и ранг расширенной матрицы 

 

 











2

5



4

1

4



3

4

1



2

3

5



1

B

 



Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй, умножим первую строку на (-3) и сложим с 

третьей. Умножим вторую строку на (-1) и сложим с третьей строкой 

 































7

3



4

0

0



0

10

11



0

3

5



1

~

10



3

4

10



11

0

10



11

0

3



5

1

~



2

5

4



1

4

3



4

1

2



3

5

1



B

 

Теперь ясно, что rangA=2, rangB=3. Согласно теореме Кронекера – Капели, из того, что 



rangB

rangA


следует несовместность исходной матрицы (не имеет решений). 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 



https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 



Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   


 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

3. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. 

3.0      











0

x

5



x

2

x



0

x

3



x

x

2



0

x

x



x

3

3



2

1

3



2

1

3



2

1

 

 

Найдем определитель



 по правилу треугольника: 



11



32

23

33



21

12

31



22

13

13



32

21

31



23

12

33



22

11

33



32

31

23



22

21

13



12

11

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a















 

 

Определитель системы  





15

10



18

1

4



3

15

)



5

(

2



1

2

3



3

1

)



1

(

1



2

2

1



1

3

1



)

5

(



)

1

(



3

5

2



1

3

1



2

1

1



3

























 

Так как 


15



поэтому система имеет единственное нулевое решение: 

0

x



x

x

3



2

1



   



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Наш сайт: 

Fizmathim.ru

 

Группа ВКонтакте 



https://vk.com/fizmathim_resh

 

Перейти на 



Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

   


 

Решение задач по высшей математике на заказ 

 

4. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. 

4.0      











0

x

x



6

x

7



0

x

4



x

3

x



3

0

x



5

x

3



x

4

3



2

1

3



2

1

3



2

1

 

Найдем определитель

 по правилу треугольника: 



11



32

23

33



21

12

31



22

13

13



32

21

31



23

12

33



22

11

33



32

31

23



22

21

13



12

11

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a

a



a

a















 

 

Определитель системы  





0

9



96

105


90

84

12



)

1

(



3

)

3



(

)

6



(

4

4



7

)

3



(

5

)



6

(

3



)

5

(



7

4

)



3

(

)



1

(

)



3

(

4



1

6

7



4

3

3



5

3

4































 Так как 

0





то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку rangA=2, n=3, возьмем любые два 

уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение 

 

Имеем: 


 







0

x



4

x

3



x

3

0



x

5

x



3

x

4



3

2

1



3

2

1



 

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных x

1

 и x


2

 не равен нулю, то в качестве базисных 

неизвестных возьмем x

1

 и x



2

 и переместим члены с x

3

 в правые части уравнений: 



 







3

2

1



3

2

1



x

4

x



3

x

3



x

5

x



3

x

4



 

Решаем последнюю систему по формулам Крамера 

 

2

)



1

(

2



1

x



,  



2

)

2



(

2

2



x



 

где      



3

9

12



3

3

3



4

2







 



3

3

3



3

3

)



1

(

2



x

27

x



12

x

15



3

x

4



3

x

5









 



3

3

3



3

3

)



2

(

2



x

31

x



15

x

16



x

4

3



x

5

4







 



Отсюда находим, что 

3

x



27

x

3



1



,       



3

x

31



x

3

2





 

Полагая 


k

3

x



3



, где k – произвольный коэффициент пропорциональности, получаем решение 

исходной системы: 

 

k

3



x

;

k



31

x

;



k

27

x



3

2

1







 

 

 



 

Download 263.33 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling