Сопротивление материалов

Определение опорных реакций

• YA

• YB

• F = 20кН

• А

• В

• ℓ1=2м

• ℓ2=2м

• ∑Z = 0
• ∑МА = -Fℓ1+YB (ℓ1 +ℓ2) = 0
• YB = 20 ∙ 2 / 4 = 10кН
• ∑МВ = -YA (ℓ1 +ℓ2) + Fℓ2
• YA = Fℓ2 / (ℓ1 + ℓ2) = 10кН
• Проверка: ∑Y = 0
• ∑Z = 0
• ∑МА = -М - Fℓ1 + YB (ℓ1 + ℓ2)
• YB = 25кН
• ∑МВ = -M + F2 + YА ( ℓ1 + ℓ2)
• YА = 15кН
• Проверка: ∑Y = 0 = YA – F + YB

• М=20кН

• YA

• YB

• F=40кН

• ℓ1=2м

• ℓ2=2м

• А

• В

Определение опорных реакций

• YA

• YB

• ℓ = 4м

• q = 10 кН / м

• A

• B

• ∑Z = 0
• ∑MA = -qℓ ℓ/2 + YBℓ = 0
• YB = 20кН
• ∑MВ = qℓ ℓ/2 -YAℓ = 0
• YA = 20кН
• Проверка: ∑Y= 0
• q = 10кН / м; F = кН; М = 20кНм
• ∑Z = 0
• ∑MA = -qℓ ℓ/2- F ℓ1 – M + YB(ℓ1 + ℓ2)
• YB = 30кН
• ∑MВ = qℓ ℓ/2 + F ℓ2- M - YA (ℓ1 + ℓ2)
• YA = 20кН
• Проверка: ∑Y= 0

• q

• YA

• YB

• ℓ1 = 2м

• ℓ2 = 2м

• M

• F

• A

• B

Определение опорных реакций

• М

• YA

• ZA

• F=20кН

• ℓ=1м

• ∑Z = 0
• ∑MA = M - F ℓ = 0
• M = 20 кН
• ∑MB = M - YA ℓ
• YA = M / ℓ
• YA = 20 кН
• ∑Z = ZA + F1 + F2 = 0
• ZA = -30 кН

• ZA

• F1=10кН

• F2=20кН

• Задача №1
• Электрическая лампа подвешена на шнуре на кронштейне. Найти силы упругости в балках кронштейна, если масса лампы равна 1 кг, а угол α = 60°.

• 2

• 3

• 4

• 2

• 3

• 4

• y

• х

• 1-ый способ

• При m=1кг, α=600

• Задача №1

• Задача №1

• 2

• 3

• 4

• Из треугольника сил:

• 2-ой способ

• y

• х

• А

• В

• Задача №2
• К концу двухметрового стержня АС, укрепленного шарнирно одним концом к стене, а с другого конца поддерживаемого тросом ВС длиной 2,5 м, подвешен груз массой 120 кг. Найти силы, действующие на трос и стержень.

• С

• 3

• 4

• А

• В

• Задача №2

• С

• 3

• 4

• Дано:
• АС=2м
• ВС=2,5м
• m=120 кг
• T-? N-?

• АВ=1,5м
• T=2000H
• N=1600H

Задача №3

• Задача №3
• На бельевой веревке длиной 10м висит костюм, вес которого 20 Н. Вешалка расположена посередине веревки, и эта точка провисает на 10 см ниже горизонтали, проведенной через точки закрепления веревки. Чему равна сила натяжения веревки?

• h

• ℓ/2

• 4

Задача №3

• Задача №3

• h

• F

• F

• ℓ/2

• 4

• Из подобия треугольников

• Дано:
• ℓ=10м
• Fт=20Н
• h=10см
• F-?

• А

• В

• С

• Задача №4
• Найти силы, действующие на подкос ВС и тягу АС, если АВ = 1,5 м, АС = 3 м, ВС = 4 м, а масса груза 200 кг.

• А

• В

• С

• А

• В

• С

• Задача №4

• АВ = 1,5 м
• АС = 3 м
• ВС = 4 м
• m=200 кг N-? T-?

• Задача №5
• К балке массой 200кг и длиной 5м подвешен груз массой 250кг на расстоянии 3м от одного из концов. Балка своими концами лежит на опорах. Каковы силы давления на каждую из опор?

• O

• A

• B

• C

Mg·AO + mg·AC = N2·AB

• Задача №5
• АВ=5м
• М=200кг
• m=250кг
• АС=3м
• N1 -?
• N2 -?

• ∑МiA=0

• O

• A

• B

• C

• Mg·AO + mg·AC = N2·AB

• P=mg

• Mg

• N1

• N2

• N1+ N2 = (M+m)g

• N1= (M+m)g - N2

• Задача
• К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки, как показано на рисунке. Радиус оси катушки r = 0,5 см, радиус ее щечек R = 10 см. Коэффициент трения между стенкой и катушкой μ = 0,1. При каком угле α между нитью и стенкой катушка висит неподвижно?

• Решение
• Запишем условия равновесия катушки виде: N – Tsinα = 0 и Tr - FmpR = 0.
• Учитывая, что Fmp = μN, получаем sinα = r/(μR) = ½
• α = 30°.
• Ответ: α = 30°.

• Задача
• На столе лежит однородный стержень массой 6 кг так, что две трети его длины находятся за краем стола. Какую силу необходимо приложить к концу стержня для удержания его в горизонтальном положении?

• Решение На стержень действуют три силы: сила тяжести mg, удерживающая сила F и сила реакции опоры N, которая приложена в точке O, так как вначале вращения эта точка является опорой стержня.
• Применим правило моментов относительно оси вращения в точке O: Mmg + MF = 0 mgl3 - Fl1 = 0
• где Mmg и MF – момент силы тяжести и приложенной силы F, а l3 и l1 – соответствующие плечи сил.
• Отсюда имеем
• F = mgl3/l1.
• Поскольку l3 = l2 – l4
• где l4 = l/2, получаем l3 = 2l/3 – l/2 = l/6
• F = mg/2.
• Проводим расчет F = 6•10/2 = 30 H.
• Ответ: F = 6•10/2 = 30 H.

• Задача
• Невесомый жесткий стержень длиной l свободно лежит на двух опорах A и B. В точке C, отстоящей от A на расстоянии a, на стержень действует вертикальная нагрузка F. Найти реакцию опор.

• Решение Поместим начало координат X и Y в точке A и направим их, как показано на рисунке.
• Уравнение проекций на ось Y FA + FB - F = 0. Уравнение моментов относительно точки A (направление момента, вызывающего вращение по часовой стрелке, принимаем за положительное) F a – FB l = 0.
• Из двух уравнений находим FB = F a/l
• FA = F(l - a)/l.
• Ответ: FB = Fa/l; FA = F(l - a)/l.

• Задача
• Балка весом P1 свободно лежит на двух опорах A и B, расстояние между которыми равно l, и выступает за опору B на такую же длину l. На середине промежутка AB расположен груз P2, а на выступающем конце – груз P3. Найти реакции опор FA, FB.

• Решение: Уравнение равновесия сил:
• FA + FB - P1 - P2 - P3 = 0
• Уравнение равновесия моментов
• относительно точки B: FAl - P2l/2 + P3l = 0
• Отсюда
• FA = P2/2 - P3; FB = P1 + P2/2 + 2P3.
• Ответ: FA = P2/2 - P3;
• FB = P1 + P2/2 + 2P3

• Задача
• Куб опирается одним ребром на пол, другим – на гладкую вертикальную стенку. Определить, при каких значениях угла α возможно равновесие куба. Коэффициент трения куба о пол равен μ, ребро куба равно a.

• Решение: Уравнение проекций на вертикальную ось:
• –P + F2 = 0 Уравнение проекций на горизонтальную ось: F1 – F = 0
• Уравнение моментов относительно точки нижней опоры F1a sinα = Pa(√1/2) cos(π/4 + α)
• Кроме того, F ≤ μF2
• Отсюда находим 1 > tgα ≥ 1/(2μ + 1).
• Т.к μ > 0, то α всегда меньше π/4, так как при α > π/4 куб опрокинется.
• Ответ: 1 > tgα ≥ 1/(2μ + 1)