tenglamani va 15) shartni ikkala tomonini ga ko’paytirib hamda

o’rinlidir.
(3.14) tenglamani va (3.15) shartni ikkala tomonini ga ko’paytirib hamda x bo’yicha – dan gacha integrallab, (3.19)-(3.21) ni hisobga olib, quyidagi masalani hosil qilamiz:
+a^{2 2} (t, )=0, (3.22)
(0, )=Ф( ). (3.23)
(3.22) oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi
(t, )=c₁ (3.24)
teng. (3.24) va (3.23) dan
(0, )=Ф( ).
Demak, (3.22), (3.23) masalaning yechimi
(t, )=Ф( ) (3.25)
ko’rinishda bo’ladi.
Endi (3.15) teskari Frue almashtirishga ko’ra (3.18) dan quyidagini
u(x,t)= (t,x) d (3.26)
hosil qilamiz.
(3.25) ni (3.26) ga qo’yib (3.21) sa asosan
u(x,t)= ( ) d = ( )d( ) d
=
ni olamiz. Bundan cosx funksiyaning juftligini, sinx funksiyaning toqligini hisobga olib,
u(x,t)= ( )d d (3.27)
hosil qilamiz.
(3.27) dan va

{120}

formulani hamda a=a ni e’tiborga olib, (3.14), (3.15) Koshi masalasining yechimini olamiz:

5. (0,+ )da aniqlangan f (x) funksiyaning Frue almashtirishi.
Ushbu
va

integrallar bilan aniqlangan va funksiyalar funksiyaning mos ravishda kosinus va sinus (Frue) almashtirishlari deyiladi.
(3.30) va (3.31) formulalarning orginaliga o’tish mos ravishda

va

formulalar orqali amalga oshiriladi.
2-Misol.
tenglamaning

shartlarini qanoatlantiruvchi echimi topilsin.
{121}

Yechish. (3.34) tenglamani va (3.36) shartni ikkala tomonini ga ko’paytirib bo’yicha 0 dan + gacha integrallab, quyidagi masalani hosil qilamiz:


bu yerda


(3.37) tengmani (3.38) boshlang’ich shart asosida yechib, quyidagi yechimni olamiz:

(3.39) formulani ikkala tomonini ga ko’paytirib, bo’yicha 0 dan + gacha integrallaymiz:

(3.33) va (3.28) formulalarga ko’ra (3.40) dan quyidagini



hosil qilamiz.
Shunday qilib, (3.34), (3.35), (3.36) masalaning yechimi quyidagi
{122}


ko’rinishda bo’ladi.