Тригонометрия элементлари

МАВЗУ: ТРИГОНОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТЛАРИ


Режа:

1. 
   Кириш.
   

а) Тригонометрияни келиб чиқиш тарихи.
б) Буюк алломаларимизни тригонометрияга қўшган хиссалари.

2. 
   Асосий қисм.
   

а) Тригонометрик функциялар таърифи.
б) Синус, косинус, тангенс ва котангенс ишоралари.
в) Айни бир бурчакнинг синус, косинус, тангенс ва котангенс орасидаги муносабат.
г) Қўшиш формулалари.
д) Иккиланган бурчакнинг синуси ва косинуси.
е) Синус ва косинуслар йиғиндиси ва айирмаси.

3. 
   Хулоса.
   
4. 
   Фойдаланилган адабиётлар
   

КИРИШ

Ҳозирги вақтда тригонометрик функциялар ёрдамида ечиладиган масалалар қадим замонларда пайдо бўлган. Қадимдан бундай масалаларни еча билишга жиддий талабларни астрономия қўйган. Астрономларни сферада ётган катта доираларнинг ёйларидан тузилган сферик учбурчакларнинг томонлари билан бурчаклари орасидаги муносабатлар қизиқтирган. Улар теккис учбурчакларни “ечиш”га доир масалаларга қараганда мураккаброқ масалаларни ечишни яхшигина уддалаганлар.

Бизнинг тригонометрик жадвалларимиз ўрнида қадимги математиклар берилган узунликлардаги ёйларни тортиб турувчи ватарлар жадвалини тузишган. Эрамиздан илгари III – II асрларда грек математиклари томонидан тузилган бундай қадимий жадваллар бизгача етиб келмаган. Ватар узунликлари ҳақидаги бизгача сақланиб қолган энг қадимий жадвал Александриялик астроном Птолемей (эрамизнинг II асри) томонидан тузилган. Бу жадвалларда айлана ватарларининг узунликлари 30⁰ дан оралатиб берилган. Ватар узунликлари уч хонали олтмишлик касрлар шаклида, яъни
,
бунда a, b, c сонлари 0 дан 59 гача бўлган бутун сонлардир.
Sin, cos, tg, ctg, sec, cosec тригонометрик функциялар айланада ўтказилган кесмалар узунликларининг нисбатлари сифатида V – X аср ҳинд ва араб математикларида учрайди. Ҳинд математиги Ариабхата (V асрнинг оҳири) формулани ва ҳатто ярим бурчак синуси, косинуси ва тангенси формулаларини билар эди. Бу формулалар унга шу функцияларнинг жадвалларини тузиш учун хизмат қилган.
Ғарбий Европада тригонометрия XV – XVI асрларда актив ривожланди. Бунда бир қатор натижалар француз математиги Ф.Виетга (1540-1603) тегишлидир.
Дифференциал ҳисоб пайдо бўлиши билан тригонометрик функцияларнинг ҳосилалари учун формулалар топилди. Бу формулалар асосан И.Ньютонга маълум эди. Бу формулаларнинг геометрик усул билан чиқарилишини Котеснинг (1682 - 1716) ишларидан топиш мумкин. Аргумент дан гача ўзгарганда тригонометрик функцияларнинг қандай ўзгариши ҳақидаги очиқ тасаввурлар Д.Валлис (1616 - 1703) нинг асарларида учрайди. Аммо, умуман айтганда, Л.Эйлер (1707 - 1783) гача бўлган математиклар бу хусусида унча катта изчиллик кўрсатмадилар ва баъзи масалаларга боғлиқ равишда тригонометрик функцияларнинг аниқланиш соҳаларини турли усуллар билан чеклаб қўйдилар. Сон аргументнинг сонли функциялари ёки кесма узунликларининг бурчак катталигига ёки ёй узунлигига боғлиқлиги дейилганда нима назарда тутилиши очиқ эмас эди.
Тригонометрик функциялар назарияси ҳозирга кўриниши Л.Эйлер асарлари, жумладан унинг “Чексиз кичиклар анализига кириш” 1748 йилдаги китобида олди.
Умуман олганда, математиканинг, хусусан тригонометриянинг ривожида нафақат чет эл олимлари, балки ўзимизнинг буюк алломаларимиз ҳам ўзларини ҳиссаларини қўшганлар. Булардан Муҳаммад ал-Хоразмий, Аҳмад Фарғоний, Абу Райҳон Беруний, Мирзо Улуғбек, Али Қушчи, Ғиёсиддин Жамшид ал-Коший кабилардир.
Юлдузларнинг осмон сферасидаги координаталарини аниқлаш, сайёраларнинг ҳаракатларини кузатиш, Ой ва Қуёш тутилишини олдиндан айтиб бериш ва бошқа илмий, амалий аҳамиятга молик масалалар аниқ ҳисобларни, бу ҳисобларга асосланган жадваллар тузишни тақозо этар эди. Ана шундай астрономик жадваллар Шарқда “Зиж”лар деб аталган.
Муҳаммад ал-Хоразмий, Абу Райҳон Беруний, Мирзо Улуғбек каби олимларимизнинг математик асарлари билан бирга “Зиж”лари ҳам машҳур бўлган, улар лотин ва бошқа тилларга таржима қилинган. Европада математиканинг, астрономиянинг тараққиётига салмоқли таъсир ўтказган.
Берунийнинг “Қонун маъсудий” асарида синуслар жадвали 15 минут оралиқ билан, тангенслар жадвали 1⁰ оралиқ билан 10^-8 гача аниқликда берилган. Ниҳоятда аниқ “Зиж”лардан бири Мирзо Улуғбекнинг “Зиж”и – “Зижи Кўрагоний” дир. Бунда синуслар жадвали 1 минут оралиқ билан, тангенслар жадвали 0⁰ дан 45⁰ гача – 1 минут оралиқ билан, 46⁰ дан 90⁰ гача эса – 5 минут оралиқ билан 10^-10 гача аниқликда берилган.
Ғиёсиддин Жамшид ал-Коший “Ватар ва синус” ҳақида рисоласида ни вергулдан сўнг 17 хона аниқлигида ҳисоблайди

Буюк алломаларимиз қолдирган изларни ўз мисолларимизда кенг қўллаймиз.