Тригонометрия элементлари

ҚЎШИШ ФОРМУЛАЛАРИ

Қўшиш формулалари деб ва ларни ва бурчакларнинг синус ва косинуслари орқали ифодаловчи формулаларга айтилади.

Теорема. Ихтиёрий ва учун қуйидаги тенглик ўринли бўлади
. (1)
Исбот: нуқтани координаталар боши атрофида , , радиан бурчакларга буриш натижасида мос равишда , ва нуқталар ҳосил бўлади.
Синус, косинус таърифига кўра бу нуқталар қуйидаги координаталарга эга: , , .
бўлгани учун ва тенг ёнли учбурчаклар тенг ва уларнинг ва асослари ҳам тенг. Шунинг учун . Геометрия курсидан маълум бўлган икки нуқта орасидаги масофа формуласидан фойдаланиб, ҳосил қиламиз:
.
(1) формуладан фойдаланиб, бу тенгликни алмаштирамиз:


Асосий тригонометрик айниятдан фойдаланиб, ҳосил қиламиз:
, бундан .
(1) формуладан ни га алмаштириб, ҳосил қиламиз: .
. (2)
Синуслар учун қўшиш формуласини келтириб чиқарамиз:

.
Демак,
, (3)
. (4)
. Бу касрни сурат ва махражини га бўлиб, қуйидаги формулани ҳосил қиламиз:
, (5)
. (6)


ИККИЛАНГАН БУРЧАКНИНГ СИНУСИ ВА КОСИНУСИ

Қўшиш формулаларидан фойдаланиб, иккиланган бурчакнинг синуси ва косинуси формулаларини келтириб чиқарамиз.

.
Демак,
. (1)
.
. (2)
бизга маълум. Биз деб фараз қилиб, тангенсни иккиланган бурчагини топамиз:
. (3)


СИНУС ВА КОСИНУСЛАР ЙИҒИНДИСИ ВА АЙИРМАСИ

Мисол. Ҳисобланг: .

Ечиш: қўшиш формуласи ва иккиланган бурчак синуси формуласидан фойдаланиб, қуйидагига эга бўламиз:


.
Агар синуслар йиғиндиси формуласи
(1)
дан фойдаланилса, бу масалани соддароқ ечиш мумкин. Шу формула ёрдамида қуйидагини ҳосил қиламиз:
.
Энди (1) формула ўринли эканлигини исботлаймиз.
; белгилаш киритамиз. У ҳолда , ва шунинг учун

.
(1) формула билан бир қаторда қуйидаги синуслар айирмаси формуласи, косинуслар йиғиндиси ва айирмаси формулаларидан ҳам фойдаланилади:
(2)
(3)
(4)