Uzluksiz funksiyalarning global xossalari Reja: 1

Uzluksiz funksiyalarning global xossalari
Reja:

1. Kesmada uzluksiz bo’lgan funksiyalarning xossalari.

2. Funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teoremalar.
1. Kesmada uzluksiz bo’lgan funksiyalarning xossalari.

Agar funksiya ( intervalning har bir nuqtasida hamda nuqtada o’ngdan va nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya [ kesmada uzluksiz deyiladi.

1-teorema(Veyershtrassning birinchi teoremasi).

Agar funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiya kesmada chegaralangan bo’ladi, ya’ni

, (1)

Isbot. Faraz qilaylik funksiya kesmada chegaralanmagan bo’lsin.

U holda

(2)

munosabat bajariladi.

(2) shartda ni natural sonlar deb olib

(3)

tengsizlikni olamiz, bo’lganligi uchun ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga ko’ra har qanday chegaralangan ketma-ketliklar yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikka ajratish mumkinligidan, shunday qismiy ketma-ketlik va nuqta topilib

(4)

tenglik o’rinli bo’ladi. (3) ga asosan

(5)

munosabat bajariladi. (4) va (5) dan ketma-ketlik limitining tengsizlikka bog’liq xossalaridan ξ ekanligini olamiz. (4) dan va funksiyaning uzluksizligidan

(6)

tenglikni olamiz.

Ikkinchi tomondan (3) tasdiq barcha uchun bajarilganligi uchun, xususiy holda bo’lganda bajariladi, ya’ni

Bundan esa =ekanligini olamiz. Bu tenglik (6) tasdiqqa qarama-qarshidir. Shuning uchun (2) shart bajarilmaydi. Demak, (1) tasdiq o’rinli ekan.

1-Izoh.1-teorema intervalda o’rinli emas. Masalan funksiya intervalda chegaralanmagan. funksiya da uzluksiz, lekin da chegaralanmagan.