§. Natural va butun sonlar

23- §. Geometrik progressiya.

Agar (b_n) ketma-ketlik b₁ =b va ixtiyoriy n natural son uchun b_n+1 =b_nq shart o’rinli bo’lsa, bu ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi. Bunda b va q geometrik progressiyaning mos ravishda birinchi hadi va maxraji deyiladi. Agar geometik progressiyada b>0 va q>0 bo’lsa, o’suvchi bo’ladi; agar b>0 va 01 bo’lsa, kamayuvchi hisoblanadi; b<0 va 0

Geometrik progressiyaning n- hadi uchun quyidagi formula o’rinli bo’ladi.

b_n =bq^n-1

isboti: Geometrik progressiya uchun b₂ =b₁q, b₃ =b₂q, b₄=b₃q,……..,b_n =b_n-1q shartlar o’rinlidir.

Buni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.

b₂ =b₁q, b₃ =b₁q², b₄ =b₁q³,……..,b_n =b₁q^n-1

Xossasi:

1. 
   b_n =b_n-1b_n+1
   
2. 
   b_kb_m=b_pb_q (k+m =p+q)
   

Geometrik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi uchun quyidagi formula o’rinlidir.

S_n = b₁+b₂+b₃+….+b_n =

Isboti: S_n = b₁+b₂+b₃+….+b_n tenglik o’rinlidir. Bu tenglikni ikki tarafini q ga ko’paytirib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.

qS_n = qb₁+qb₂+qb₃+….+qb_n

Bu ikkita tenglikni bir-biridan ayirib (1-q)S_n = b(1-qⁿ)

Bu tenglikdan S_n = ni hosil qilamiz.

Ceksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig’indsi

S = b₁+b₂+b₃+…….= formula orqali topiladi. (Bunda

Isboti: Agar bo’lsa, =0 ga teng bo’ladi. Buni inobatga olib, )= ga teng bo’ladi.

23-Mashq.

1.(b_n) geometrik progressiyada b₁ +b₃ =17, b₂ +b₄ =68 shartlar o’rinli bo’lsa, S₇ ni aniqlang.

Javob: (5461)

2. Geometrik progressiyaning maxaraji 3 ga teng, dastlabki to`rtta hadining yig`indisi 80 ga teng. Uning to`rtichi hadini toping.

A) 24 B) 32 C) 54 D) 27

3. Ishorasi almashinuvchi geometrik progressiyaning birinchi hadi 2 ga, uchinchi hadi 8 ga teng. Shu progressiyaning dastlabki 6 ta hadining yig`indisini toping.

A) 20 B) -20 C) -42 D) 42

4.Geometrik progressiyaning birinchi hadi va maxaraji 2 ga teng. Shu progressiyaning dastlabki nechta hadlari yig`indisi 1022 ga teng bo`ladi?

A) 5 B) 8 C) 9 D) 10

5. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig`indisi 1,6 ga, ikkinchi hadi -0,5 ga teng. Shu progressiyaning uchinchi hadini toping.

A) B) C) D)

6. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning birinchi hadi ikkinchisidan 8 ga ortiq, hadlarining yig`indisi esa 18 ga teng. Progressiyaning uchinchi hadini toping.

A) B) C) D)

7. Bir biridan faqat maxrajlarining ishoralari bilan fsrq qiladlgan ta cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya berilgan.Ularning yigindilari mos ravishda va ga teng. Shu progressiyalardan istalganining hadlari kvadratlaridan tuzilgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig`indisini toping.

A) B) C) D)

8. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig`indisi 16 ga teng, shu progressi-yaning hadlari kvadratlarining yig`indisi esa 153 ga teng. Progressiyaning maxrajini va to`rtinchi hadini toping.

Javob: ()