1-§. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami

5-§. Bir o`zgaruvchili funksiya hosilasi va differensiali

1. 
   Hosila haqida tushuncha. Funksiya differensiali
   

Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsin.
f (x) funksiyaning x nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi Δy = Δf (x) ning argument orttirmasi Δx ga nisbatining, Δx nolga intilgandagi chekli limitiga aytiladi va f  (x), y, y_x, , ifodalarning biri orqali yoziladi.

Ta`rifga ko`ra, .

Agar f (x) funksiya x nuqtada uzluksiz bo`lib, (yoki - ∞) bo`lsa, u holda f (x) funksiya x nuqtada cheksiz hosilaga ega de-yiladi va f  (x) = ∞ (yoki - ∞) shaklda yoziladi.
Chekli yoki cheksizligidan qat`i nazar,
va
limitlarga, mos ravishda, f (x) funksiyaning x nuqtada chapdan va o`ngdan hosilalari deyiladi.
f (x) funksiyaning x nuqtada bir tomonlama, chapdan va o`ngdan hosilalari mavjud bo`lib, o`zaro teng bo`lgandagina, funksiya x nuqtada hosilaga ega bo`ladi va .
Berilgan f (x) funksiyaning hosilasi ni topish amaliga funk-siyani differensiallash deb ataladi.
Masalan: 1) y = x³ funksiya har qanday haqiqiy x da chekli hosilaga ega, chunki

.
Shunday qilib, (x³) = 3x² (x є R).
2) funksiya x = 0 nuqtada cheksiz hosilaga ega:
.

3) y = | x | funksiya esa x = 0 nuqtada har ikki bir tomonlama hosilalari ; mavjud bo`lishiga qaramasdan, hosilaga ega emas, chunki ≠  .

Erkli o`zgaruvchi yoki argument x ning differensiali deb, uning orttirmasi Δx ga aytiladi va dx orqali belgilanadi, ya`ni dx = Δx.
Agar y = f (x) funksiyaning x nuqtadagi Δy = f (x + Δx) - f (x) orttirmasi, Δy = A(x)dx + α(dx) ko`rinishda tasvirlansa, bu yerda A(x) – o`zgaruvchi, dx → 0 da α(dx) = 0(dx), u holda f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.