1-§. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami

2. Uzluksiz funksiyalar xossalari. To`plamda uzluksizlik
Nuqtada uzluksiz funksiyalar quyidagi xossalar bilan xarakterlаnadi:
1. f (M) va g(M) funksiyalar M<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda M₀ nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo`ladi:
a) f (M) + g(M); b) k f (M) (k – o`zgarmas); c) f (M) · g(M);
d)  (g(M₀) ≠ 0).
2. Agar f (M) funksiya V to`plamda aniqlangan bo`lib, M₀ є V nuqtada uzluksiz va f (M₀) > 0 (f (M₀) < 0) bo`lsa, u holda M<sub>0</sub> nuqtaning shunday bir δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) mavjudki, barcha M є S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V nuqtalar uchun f (M) > 0 (f (M) < 0) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
To`plamning har bir nuqtasida uzluksiz funksiyaga to`plamda uzluksiz funksiya deyiladi.
To`plamda uzluksiz funksiyalar esa quyidagi xossalarga ega:
1. Agar f (M) funksiya ixcham (chegaralangan va yopiq) V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda chegaralangandir.
2. Agar f (M) funksiya ixcham V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda o`zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun yuqorida qayd qilingan xossalardan tashqari, qo`shimcha quyidagi xossa o`rinli:
3. Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa (f (a) · f (b) < 0), u holda (a; b) intervalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f (c) = 0 tenglik bajariladi (6-rasm).

6-rasm.

3. Bir tomonlama uzluksizlik. Bir o`zgaruvchili funksiyaning uzilish nuqtalari.
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya argumentning x ≤ x₀ (x ≥ x₀) qiymatlarida aniqlangan bo`lsin.
Agar ( )
munosabat bajarilsa, f (x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada chapdan (o`ngdan) uzluksiz deyiladi.
Masalan, funksiya 0 nuqtada chapdan uzluksiz, chunki, .
y = f (x) funksiya [a; b] kesmaning har bir ichki nuqtasida uzluksiz bo`lib, a nuqtada o`ngdan va b nuqtada chapdan uzluksiz bo`lgandagina [a; b] kesmada uzluksiz bo`ladi.
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning x₀ nuqtaning o`zida aniqlangan bo`li-shi shart emas. Agar f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo`lmasa, funksiya x<sub>0</sub> nuqtada uzilgan yoki x<sub>0</sub> nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi.
y = f (x) funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtada chapdan va o`ngdan limitlari mavjud bo`lib, o`zaro teng bo`lmasa, ya`ni

u holda x ₀ nuqta funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Masalan, funksiya x₀ = 0 nuqtada birinchi tur uzilishga ega, chunki (7 – rasm).
Agar x₀ nuqtada funksiyaning chapdan va o`ngdan limitlari f (x<sub>0</sub> – 0) va f (x<sub>0</sub> + 0) lar o`zaro teng bo`lib, funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtada erisha-digan qiymati f (x<sub>0</sub>) dan farq qilsa, unda x<sub>0</sub> nuqta uzliksizlikni tiklash mumkin bo`lgan uzilish nuqtasi deb ataladi (3 – rasm).
y = f (x) funksiyaning x₀ nuqtada chapdan yoki o`ngdan limitlarining biri mavjud bo`lmasa (xususan, cheksiz bo`lsa), u holda x₀  nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

7-rasm. 8-rasm.

Masalan, funksiya x₀ = 0 da ikkinchi tur uzilishga ega, chunki f (+0) =∞.

Bir necha o`zgaruvchili funksiyalar uzilish nuqtalaridan tashqari, uzilish chiziqlari, sirtlari va hokazolarga ega bo`lishlari mumkin.