1-§. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami

2. Bir o`zgaruvchili funksiya umumiy xossalari va grafigi. Tes-kari funksiya

(2-rasm)
V  R₁ nuqtalar to`plamida aniqlangan bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiyaning grafigi deb, mumkin bo`lgan barcha (x; f (x)), x є V juf-tliklarning x0y to`g`ri burchakli koordinatalar tekisligidagi aksiga aytiladi.

R₁ fazoda, x = 0 nuqtaga nisbatan simmetrik, nuqtalarning V qism to`plami va unda aniqlangan y = f (x) funksiya berilgan bo`lsin.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = f (x) tenglik o`rinli bo`lsa, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya V to`plamda juft funksiya deyiladi. Juft funksiya grafigi 0u ordinata o`qiga nisbatan simmetrikdir.
Agar har qanday ± x є V lar uchun f (-x) = -f (x) munosabat o`rinli bo`lsa, y = f (x) V to`plamda toq funksiya deyiladi. Toq funksiya gra-figi esa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrikdir.
Masalan, juft natural darajali y = x²ⁿ (n є N) funksiya juft funksiyaga misol bo`lsa, toq natural darajali y = x<sup>2n–1</sup> (n є N) toq funksiyaga misoldir.
y = f (x) funksiya uchun shunday bir musbat t son mavjud bo`lsaki, funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday x va x + t nuqtalari uchun f (x+t) = f (x) tenglik bajarilsa, y = f (x) funksiya davriy funksiya deyiladi. t soni esa funksiya davri deb yuritiladi. Amalda funksiya davrlari ichidan eng kichigi T ni topish masalasi qo`yiladi, qolgan barcha davrlar uning butun karralisidan iborat bo`ladi.
Masalan, y = 5sin(0,25πx) funksiyaning eng kichik musbat davri .
y = f (x) funksiya V  R₁ to`plamda aniqlangan bo`lib, uning biror-bir V₁ qism osti to`plamidan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x<sub>1</sub> va x<sub>2</sub> nuqtalar uchun x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> munosabatdan f (x<sub>1</sub>)< f (x<sub>2</sub>) (f (x<sub>1</sub>)≤ f (x<sub>2</sub>)) tengsizlik kelib chiqsa, u holda y = f (x) funksiya V<sub>1</sub> to`plamda o`suvchi (kamayuvchi emas) deyiladi.
Agarda funksiya aniqlanish sohasiga tegishli V<sub>1</sub> to`plamdan ixtiyoriy ravishda tanlanadigan ikki x₁ va x₂ nuqtalar uchun x₁< x₂ shartdan f (x₁)>f (x₂) (f (x₁) ≥ f (x₂) tengsizlik kelib chiqsa, y = f (x) funksiya V₁ to`plamda kamayuvchi (o`suvchi emas) deyiladi.
O`suvchi va kamayuvchi funksiyalarga qat`iy monoton funksiyalar deyiladi.
Masalan, y = e^x aniqlanish sohasi R₁ da qat`iy monoton o`suvchi funksiyaga misol bo`lsa, x haqiqiy sonning butun qismi y = [x] esa kamayuvchimas funksiyaga misol bo`la oladi.
y = f (x) funksiya D(y)  R₁ sohada aniqlangan bo`lib, Ye(u) uning qiymatlar to`plami bo`lsin. Ushbu funksiya uchun har qanday x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> є D(y) lar qaralmasin, x<sub>1</sub> ≠ x<sub>2</sub> shart qanoatlantirilganda, f (x<sub>1</sub>) ≠ f (x<sub>2</sub>) munosabat bajarilsin. U holda, har bir u є E(y) songa f (x) = y tenglikni qanoatlantiruvchi aniq bir x є D(y) sonni mos qo`yish mumkin, boshqacha aytganda, E(y) to`plamda berilgan y=f (x) funksiyaga teskari x=g(y) funksiyani aniqlash mumkin.
Berilgan y = f (x) funksiyaning qiymatlari to`plami E(y) teskari funksiya uchun aniqlanish sohasi bo`lsa, y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi D(y) teskari funksiya uchun qiymatlar sohasi rolini o`taydi.
Biror–bir [a; b] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz y = f (x) funksiya, o`zining [f (a); f (b)] kesmada aniqlangan, qat`iy monoton va uzluksiz x = g(y) teskari funksiyasiga ega.
Masalan, y = sin x funksiya kesmada aniqlangan, qat`iy monoton o`suvchi va uzluksiz bo`lganidan, [ -1 ; 1 ] kesmada aniqlangan, qat`iy o`suvchi va uzluksiz x = arcsin y  teskari funksiyasiga ega.
O`zaro teskari f (x) va g(x) funksiya grafiklari birinchi chorak simmetriya o`qi y = x to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.