1-§. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami

2-§. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti
1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti haqida tushuncha. Ajoyib limitlar. Yaqinlashuvchi funksiya xossalari
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to`plamda aniqlangan bo`lib, nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi bo`l-sin. Funksiya limitining bir-biriga o`zaro teng kuchli Geyne va Koshi tillaridagi ta`riflari mavjud.
Ko`p o`zgaruvchili funksiya limiti Geyne yoki nuqtalar ketma-ketligi tilida quyidagicha ta`riflanadi: Har bir hadi V to`plamga tegishli va M₀ quyuqlanish nuqtasidan farqli har qanday M₁, M₂, …, M_k, … nuqtalar ketma-ketligi M₀ nuqtaga intilganda, mos funksiya qiymatlari f (M₁),  f (M₂), …,  f (M_k), … sonli ketma-ketligi b songa intilsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi va
yoki
ko`rinishda yoziladi.
Xususan, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: har qanday x₀ songa intiluvchi argument qiymatlari x₁, x₂, …, x_k, … sonli ketma – ketligi uchun, bu yerda x_k є V, x_k ≠ x₀ (k = 1, 2, 3, …), funksiya qiymatlari f (x₁),  f (x₂),  …,  f (x_k),  … sonli ketma – ketligi b songa intilsa, b soni f (x) funksiyaning  x → x₀ dagi limiti deyiladi va ko`rinishda yoziladi.
Funksiya limiti Koshi yoki ε – δ tilida quyidagicha ta`riflanadi:
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M₀ nuqtaning δ atrofi S_δ(M₀) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V,  M ≠ M₀ nuqtalar uchun |f (M) - b| < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda b soni f (M) funksiyaning M → M₀ dagi limiti deyiladi.
Xususiy holda, bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya uchun: Har qanday ε > 0 son uchun shunday bir δ > 0 son tanlash mumkin bo`lsaki, V to`plamga tegishli va 0 < |x - x<sub>0</sub>| < δ munosabatlarni qanoatlantiruvchi har bir x uchun |f (x) – b| < ε tengsizlik bajarilsa, b soni f (x) funksiyaning x → x<sub>0</sub> dagi limiti deyiladi (1-rasm).
Yuqorida keltirilgan ta`riflardan birini qo`llab, masalan,

1. 
   , 2) yoki 3) mavjud emasligini isbotlash mumkin.
   

3-rasm.

Quyida sanab o`tiladigan va ajoyib limitlar nomini olgan limitlar ham ta`riflar asosida isbotlanadi.

1. 
   (1-ajoyib limit asosiy shakli).
   

2. . 3. . 4. .
5. . (2-ajoyib limit asosiy shakli).
6. . 7. .
8. . 9. .
Limitga ega funksiyalar o`zlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi:
1) y = f (M) funksiya M → M<sub>0</sub> da limitga ega bo`lsa, ushbu limit yagonadir;
2) y = f (M) funksiya M → M₀ da chekli limitga ega bo`lsa, M <sub>0</sub> nuqtaning δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) mavjudki, S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V  to`plamda f (M) funksiya chegaralangan bo`ladi.