1-§. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami

3-§. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar.
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo`lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlanti-ruvchi x  lar uchun |f (x) – b | < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, b soni f (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi.

4 – rasm.

y = f (x) funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta`riflanadi.

Masalan, 1) , chunki x → + ∞ da → 0;
2) , chunki x → - ∞ da → + ∞ ;
3) .
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x < x<sub>0</sub>  da aniqlangan bo`lib, x₀ nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo`lsin (3–rasm).
Har qanday ε > 0 son uchun δ<sub>1</sub> > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`l-saki, x<sub>0</sub>–δ<sub>1</sub>< x < x<sub>0</sub> shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |f (x) –b<sub>1</sub>| < ε tengsizlik bajarilsa, b<sub>1</sub> = f (x<sub>0</sub>–0) son f (x) funksiyaning x→x<sub>0</sub> da chapdan limiti deyiladi va ko`rinishda yoziladi.
y = f (x) funksiyaning x → x₀  da o`ngdan limiti ham shunga o`xshash aniqlanadi va ko`rinishda yoziladi (5– rasm ).

5-rasm.
Masalan, 1) ; 2) .

y = f (x) funksiyaning x₀ nuqtada limiti, funksiya shu nuqtada chapdan va o`ngdan limitlarga ega bo`lib, f (x₀–0) = f (x₀+0) tenglik bajarilganda, mavjud bo`ladi.
3. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.
Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat:
1. Agar y = f (M) = C  (C – o`zgarmas) bo`lsa, u holda .

2.  mavjud bo`lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun

3. Agar va mavjud bo`lsa,

a)  ham mavjud bo`ladi va

.

b) mavjud bo`ladi va

c) o`rinli bo`lganda, ham mavjud bo`ladi va .

d) M₀ nuqtaning biror atrofida f (M) ≤ g(M) munosabat bajarilsa, u holda tengsizlik ham o`rinli bo`ladi.
Limitlar haqidagi teoremalar bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya li-mitlarini hisoblashda qo`llaniladi.

Masalan,

.
Agar bo`lsa, α(M) funksiya M → M<sub>0</sub> da cheksiz kichik funksiya deyiladi.
Xususan, agar bo`lsa, bir o`zgaruvchili α(x) funksiya x → x<sub>0</sub> da cheksiz kichik deb ataladi.
Masalan, funksiya x → -1 va x → ∞ larda cheksiz kichik funksiyadir.
Cheksiz kichik funksiya o`zining quyidagi xossalariga ega:
1) M → M₀ da α(M) cheksiz kichik funksiya bo`lib, f (M) = b + α(M) bo`lganda, mavjud va aynan b ga tengdir;
2) chekli sondagi va har biri M → M₀ da cheksiz kichik funksiyalarning yig`indisi yoki ko`paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir.
3) M → M₀ da cheksiz kichik funksiyaning, M₀ nuqtaning biror atrofida chegaralangan funksiyaga ko`paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir.
Agar (yoki - ∞) bo`lsa, γ(M) funksiya M → M₀ da cheksiz katta funksiya deyiladi.
Xususan, agar (yoki - ∞) bo`lsa, γ(x) funksiya x → x<sub>0</sub> da cheksiz katta bir o`zgaruvchili funksiya deb ataladi.
Masalan, funksiya x → 0 da cheksiz kattadir.
4. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Funksiyalarni taqqos-lash.
Bir o`zgaruvchili f (x) va g(x) funksiyalar berilgan bo`lib, x ≠ x₀ da f (x) ≠ 0, g(x) ≠ 0 va mavjud bo`lsin. U holda, quyidagi h hollarning biri o`rinli bo`ladi:
a) Agar l ≠ 0 va l ≠ ∞ bo`lsa, f (x)  va  g(x) funksiyalar x → x₀ da teng tartibli funksiyalar deyilib, f (x) = 0^*(g(x)) ko`rinishda yoziladi;

S
b) Agar l = 1 bo`lsa, f (x)  va g(x) funksiyalar x → x<sub>0</sub> da ekvivalent yoki teng kuchli deyilib, f (x) g(x) yozuvda ifodalanadi;
c) Agar l = 0 bo`lsa, f (x) funksiya x → x₀ da g(x) funksiyaga nisbatan yuqori tartibli kichik deyiladi va f (x) = o(g(x)) yozuvda yoziladi;
d) Agarda l = ∞ bo`lsa, unda g(x) = o(f (x)).
Masalan: 1. x → 0 da tg(2x) = 0*(5x), chunki .
2. x → 0 da x³ = o(x²), chunki .
3. x → ∞ da x² = o(x³), chunki .

S
4. x → 0 da tg 2x sin 2x, chunki .
Agar x → x₀ da α(x) funksiya cheksiz kichik bo`lsa, quyidagi teng kuchliliklar (ekvivalentliklar) o`rinli:

S

S

S
1. sin α(x) α(x); 2. tg α(x) α(x); 3. arcsin α(x) α(x).

S

S
4. arctg α(x) α(x); 5. log_a [1 + α(x)] α(x) log_ae.

S

S

S
6. ln[1 + α(x)] α(x); 7. 1 – cos α(x) .

S

S
8. a^α(x) - 1 α(x) lna; 9. e^α(x) - 1 α(x).

S

S
10. [1 + α(x)]ⁿ - 1 n α(x); 11.  .
Yuqorida keltirilgan ekvivalentliklardan funksiyalar limitini hisob-lashda foydalanish maqsadga muvofiq.

Masalan, .