1-§. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to`plami

3. Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqi-da tushuncha.
V₁  D(y) nuqtalar to`plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V<sub>1</sub> da erishadigan qiymatlari to`plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo`lsa, funksiya V<sub>1</sub> da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.
y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V<sub>1</sub> nuqtalar uchun f (M) ≤ K (f (M) ≥ K) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
V<sub>1</sub>  D(y) nuqtalar to`plamida ham quyidan va ham yuqoridan che-garalangan funksiyaga, V₁ to`plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V<sub>1</sub> = D(y) bo`lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to`plami chegaralangan sonlar to`plamidan iborat bo`ladi.
Agar y = f (M) funksiya V<sub>1</sub> to`plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan bo`lsa, V<sub>1</sub> to`plamga tegishli {M_k} nuqtalar ketma-ketligi mavjudki, ( ) munosabat o`rinlidir.
Misollar:
1) bir o`zgaruvchili y = x² funksiya aniqlanish sohasi R₁ da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞);
2) ikki o`zgaruvchili funksiya o`z aniqlanish sohasi D(y) = {M(x₁; x₂) є R₂ | x₁² + x₂² ≤ 1} to`plamda chegaralangandir, chunki E(y) = [0; 1].
y = f (M) funksiya qavariq V  R<sub>n</sub> nuqtalar to`plamida aniqlangan bo`lsin.
V qavariq to`plamga tegishli har qanday ikki M₁(x₁; x₂; …; x_n) va M₂(u₁; u₂; …; u_n) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f (P) ≤ α f (M₁) + (1-α) f (M₂) (f (P) ≥ α f (M₁) + (1–α) f (M₂)) tengsizliklar o`rinli bo`lsa, bu yerda R(α x₁ +(1–α)u₁; α x₂ +(1–α)u₂; …; αx_n +(1-α)u_n), u holda, y = f (M) funksiya V to`plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi.
Masalan, y = x<sup>2</sup> funksiya R<sub>1</sub> da qavariq funksiyaga misol bo`lsa, y = -x² funksiya esa R₁ da botiq funksiyaga misol bo`ladi. n o`zgaruvchili chiziqli y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_nx_n funksiya R_n fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir.
Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega:
1. –f (M) funksiya V to`plamda botiq bo`lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo`ladi.
2. f<sub>1</sub>(M) va f<sub>2</sub>(M) funksiyalar V to`plamda qavariq bo`lsa, ularning ixtiyoriy nomanfiy k<sub>1</sub> va k<sub>2</sub> koeffitsientli chiziqli k<sub>1</sub>f<sub>1</sub>(M) + k<sub>2</sub>f<sub>2</sub>(M) kombinatsiyasi V to`plamda qavariq bo`ladi.
3. f (M) funksiya V to`plamda qavariq bo`lib, {M є V | f (M) ≤ b} to`plam bo`sh bo`lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to`plamning o`zi ham qavariq to`plamdir.
Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o`xshash xossalarga ega.