1-§. To‘plamlar va ular ustida amallar

1.5-misol. 1.1-misolda qaralgan va to‘plamlarning simmetrik ayirmasito‘plamdan iborat bo‘ladi.

To‘plam buleani tushunchasi. To‘plamlar nazariyasida bulean tushunchasi kiritilgan bo‘lib, u muhim tushunchalardan biri hisoblanadi.

1.8-ta’rif.Berilgan to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan to‘plam to‘plamning buleani (to‘plam uchun bulean) deb ataladi.

to‘plamningbuleani ko‘rinishda belgilanadi.

1.9-ta’rif. to‘plam elementlari soniga uning quvvati deyiladi va ko’rinishida belgilanadi.

1.6-misol. To‘rtta elementga ega to‘plam uchun bulean o‘n oltita qism to‘plamlardan iborat bo‘ladi:

.

Demak, va .

To‘plamlar algebrasida ham algebradagi munosabatlarga o‘xshash qoidalar qaraladi. To‘plamlar algebrasidagi munosabatlar universal to‘plamning va uning xos qism to‘plamlarining qanday bo‘lishidan qat’iy nazar o‘z kuchini saqlaydi. Bu yerda, asosan, birlashma, kesishma, ayirma va to‘ldirish amallari o‘rtasidagi o‘zaro munosabatlar muhim hisoblanadi.

To‘plamlar nazariyasidagi munosabatlar, ko‘pincha, tengliklar ko‘rinishida namoyon bo‘ladi. Bu yerda tengliklarni isbotlashda hajmiylik aksiomasidan foydalangan holda quyidagicha mulohaza yuritish usuli ko‘p qo‘llaniladi. Agar tenglikning chap tomonidagi to‘plamga tegishli ixtiyoriy element u’ning o‘ng tomonidagi to‘plamda ham topilib va, aksincha, tenglikning o‘ng tomonidagi to‘plamga tegishli ixtiyoriy element uning chap tomonidagi to‘plamda ham bor bo‘lsa, u holda bu tenglik to‘g‘ridir. Boshqacha aytganda, ixtiyoriy va to‘plamlar uchun tenglikni isbotlash va munosabatlarning to‘g‘riligini ko‘rsatishga tengkuchlidir.

Odatda, to‘plamlar algebrasidagi “”, “” va “” belgilar bilan ifodalanuvchi birlashma, kesishma va ayirma amallari, bo‘sh () va universal () top’lamlar hamda xos () va xosmas () qism to‘plamlar, mos ravishda, sonlar algebrasidagi “+”, “” va “–” belgilar bilan ifodalanuvchi qo‘shish, ko‘paytirish va ayirish amallari, nol (0) va bir (1) sonlar hamda katta emas () va kichik () munosabatlari bilan qiyoslanadi.

To‘plamlar ustida munosabatlarni ifodalovchi asosiy tengliklarni qarab chiqamiz.

Universal to‘plam va uning ixtiyoriy , va qism to‘plamlari uchun quyidagi tengliklar o‘rinlidir:

1. (Nolning xossalari). , , , .

2. (Birning xossalari). , , , .

3. (Idempotentlik qonuni). , .

4. (Nol va birning bog‘liqligi xossasi). ,.

5. (Involyutivlik qonuni). .

6. (birlashmaga nisbatan kommutativlik qonuni). .

7. (birlashmaga nisbatan assosiativlik qonuni)..

8. (kesishmaga nisbatan kommutativlik qonuni)..

9. (kesishmaga nisbatan assosiativlik qonuni)..

10. (birlashmaga nisbatan distributivlik qonuni .

11. (kesishmaga nisbatan distributivlik qonuni). .

12. .

13. (12 va 13 tengliklar de Morgan qonunlari deb ataladi) .

14. .

15. (14 va 15 tengliklar yutilish qonunlari deb ataladi).

Yuqorida keltirilgan tengliklarni tahlil qilinganda ularning ba’zi xususiyatlarini payqash mumkin. Masalan, 10- va 11-, 12- va 13- hamda 14- va 15- tengliklarning biri ikkinchisidan va belgilarni o‘zaro almashtirish yordamida hosil qilinishi mumkin. Xuddi shunday, nolning xossalari bilan birning xossalari to‘g‘risida ham quyidagilarni aytish mumkin: bu xossalarni ifodalovchi tengliklarning biri ikkinchisidan va belgilarni o‘zaro almashtirish hamda va belgilarni o‘zaro almashtirish natijasida kelib chiqadi.

To‘plamlar algebrasida agar biror tenglikdan shu tenglikdagi (bor bo‘lsa) belgisini belgisiga, ni ga, ni ga, ni ga birdaniga almashtirish natijasida boshqa tenglikni hosil qilish mumkin bo‘lsa, u holda hosil qilingan tenglik dastlabki tenglikka ikki taraflama (qo‘shma) tenglik deb yuritiladi.

Biror tenglikka ikki taraflama hisoblangan tenglik uchun ikki taraflama tenglik dastlabki tenglik bilan bir xil bo‘ladi. Shuning uchun bu tengliklar o‘zaroikki taraflama (qo‘shma) tengliklar deb nomlanadi. Masalan, nolning xossasini ifodalovchi va birning xossasini ifodalovchi tengliklar o‘zaro ikki taraflama (qo‘shma) tengliklardir.